1. limによる連続関数の定義
limによる連続の定義
点 \(c\) とその周りで定義されている関数 \(f(x)\) において，
$$\lim_{x\longrightarrow c}f(x) = f(c)$$
であるとき， \(f(x)\) は点 \(c\) で連続であるという．
連続関数の定義
区間 \(I\) で定義された関数 \(f(x)\) が任意の点 \(c\in I\) で連続であるとき， \(f(x)\) を連続関数という．
2. \(\varepsilon-\delta\) 論法による連続関数の定義
\(\varepsilon-\delta\) 論法による連続の定義
点 \(c\) とその周りで定義されている関数 \(f(x)\) において，
$$\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0\ s.t.\ |x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon $$
であるとき， \(f(x)\) は点 \(c\) で連続であるという．
連続関数の定義
区間 \(I\) で定義された関数 \(f(x)\) が任意の点 \(c\in I\) で連続であるとき， \(f(x)\) を連続関数という．
3. \(\varepsilon-\delta\) 論法による一様連続の定義
\(\varepsilon-\delta\) 論法による一様連続の定義
区間 \(I\) で定義されている関数 \(f(x)\) において，
$$\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0\ s.t.\ \forall x_1,x_2 \in I,\ |x_1-x_2|<\delta \Longrightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon $$
であるとき， \(f(x)\) は区間 \(I\) で一様連続であるという．
一様連続は雑に説明すると，微分が発散しない関数のことです．
例えば， \(f(x)=\tan x\ \ (\pi /2 < x < \pi /2)\) ， \( g(x)=1/x\ \ (0 < x < \infty)\) は一様連続ではありません．
一様連続の定理
区間 \(I\) で定義された関数 \(f(x)\) が一様連続であるとき， \(f(x)\) は区間 \(I\) で連続となる．
逆は必ずしも成り立たないが，区間 \(I\) が閉区間であるとき，連続関数 \(f(x)\) は一様連続となる．
4. \(\varepsilon-\delta\) 論法による（距離空間での）連続写像の定義
距離の定義
集合 \(X\) に対して，写像 \(d:X \times X \longrightarrow \mathbb{R}\) が次の性質を満たすとき， \(d\) を距離という．
(i) 任意の \(x,y\in X\) に対して， \(d(x,y)\) は負でない実数である．
(ii) \(x,y\in X\) に対して， \(d(x,y)=0\) となるのは \(x=y\) のときのみ．
(iii) 任意の \(x,y\in X\) に対して， \(d(x,y)=d(y,x)\) である．
(iv) 任意の \(x,y,z\in X\) に対して， $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$
(i) 任意の \(x,y\in X\) に対して， \(d(x,y)\) は負でない実数である．
(ii) \(x,y\in X\) に対して， \(d(x,y)=0\) となるのは \(x=y\) のときのみ．
(iii) 任意の \(x,y\in X\) に対して， \(d(x,y)=d(y,x)\) である．
(iv) 任意の \(x,y,z\in X\) に対して， $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$$
距離の例
\(x,y\in \mathbb{R}^n\) を， \(x=(x_1,…x_n),\ y=(y_1,…,y_n)\) とかくとき，
$$d_1(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$$
$$d_2(x,y) =\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|$$
$$d_3(x,y) =\max_{i=1,…,n}|x_i-y_i|$$
は，それぞれ距離となる．
この距離が定義された集合を距離空間と呼びます．
ここで，次のような \(X\) の部分集合を考えます．
$$B^X(a;r) = \{x\in X\ |\ d(a,x)<r\} \quad (a\in X,\ r\in \mathbb{R})$$
この集合は表面のないボールや，縁のない円盤のようなもので，開球体や，開円盤と呼ばれます．このとき，開球体を用いて，写像の連続性を次のように定義します．
\(\varepsilon-\delta\) 論法による（距離空間での）連続の定義
\(X,Y\) が距離空間であって，次が成り立つとき，写像 \(f:X\longrightarrow Y\) は点 \(a \in X\) で連続であるという．
$$\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0\ \ s.t.\ \ f(B^X(a;\delta))\subset B^Y(f(a);\varepsilon))$$
（距離空間での）連続写像の定義
写像 \(f:X\longrightarrow Y\) が任意の点 \(a\in X\) で連続であるとき， \(f\) を連続写像という．
5. 位相空間での連続写像の定義
位相空間での連続写像の定義
2 つの位相空間 \((S,\mathcal{O}),\ (S’,\mathcal{O}’)\) があるとき，写像 \(f:S\longrightarrow S’\) が連続であるとは，
$$O’\in \mathcal{O}’ \Longrightarrow f^{-1}(O’)\in \mathcal{O}$$
となることである．
一様連続の定義を除いて，定義は上から下にかけて，一般化・抽象化されています．