1. limによる連続関数の定義
limによる連続の定義
点 c とその周りで定義されている関数 f(x) において，
\lim_{x\longrightarrow c}f(x) = f(c)
であるとき， f(x) は点 c で連続であるという．
連続関数の定義
区間 I で定義された関数 f(x) が任意の点 c\in I で連続であるとき， f(x) を連続関数という．
2. \varepsilon-\delta 論法による連続関数の定義
\varepsilon-\delta 論法による連続の定義
点 c とその周りで定義されている関数 f(x) において，
\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0\ s.t.\ |x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon
であるとき， f(x) は点 c で連続であるという．
連続関数の定義
区間 I で定義された関数 f(x) が任意の点 c\in I で連続であるとき， f(x) を連続関数という．
3. \varepsilon-\delta 論法による一様連続の定義
\varepsilon-\delta 論法による一様連続の定義
区間 I で定義されている関数 f(x) において，
\forall \varepsilon >0 ,\ \exists \delta >0\ s.t.\ \forall x_1,x_2 \in I,\ |x_1-x_2|<\delta \Longrightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
であるとき， f(x) は区間 I で一様連続であるという．
一様連続は雑に説明すると，微分が発散しない関数のことです．
例えば， f(x)=\tan x\ \ (\pi /2 < x < \pi /2) ， g(x)=1/x\ \ (0 < x < \infty) は一様連続ではありません．
一様連続の定理
区間 I で定義された関数 f(x) が一様連続であるとき， f(x) は区間 I で連続となる．
逆は必ずしも成り立たないが，区間 I が閉区間であるとき，連続関数 f(x) は一様連続となる．
4. \varepsilon-\delta 論法による（距離空間での）連続写像の定義
距離の定義
集合 X に対して，写像 d:X \times X \longrightarrow \mathbb{R} が次の性質を満たすとき， d を距離という．
(i) 任意の x,y\in X に対して， d(x,y) は負でない実数である．
(ii) x,y\in X に対して， d(x,y)=0 となるのは x=y のときのみ．
(iii) 任意の x,y\in X に対して， d(x,y)=d(y,x) である．
(iv) 任意の x,y,z\in X に対して， d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
(i) 任意の x,y\in X に対して， d(x,y) は負でない実数である．
(ii) x,y\in X に対して， d(x,y)=0 となるのは x=y のときのみ．
(iii) 任意の x,y\in X に対して， d(x,y)=d(y,x) である．
(iv) 任意の x,y,z\in X に対して， d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
距離の例
x,y\in \mathbb{R}^n を， x=(x_1,…x_n),\ y=(y_1,…,y_n) とかくとき，
d_1(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}
d_2(x,y) =\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|
d_3(x,y) =\max_{i=1,…,n}|x_i-y_i|
は，それぞれ距離となる．
この距離が定義された集合を距離空間と呼びます．
ここで，次のような X の部分集合を考えます．
B^X(a;r) = \{x\in X\ |\ d(a,x)<r\} \quad (a\in X,\ r\in \mathbb{R})
この集合は表面のないボールや，縁のない円盤のようなもので，開球体や，開円盤と呼ばれます．このとき，開球体を用いて，写像の連続性を次のように定義します．
\varepsilon-\delta 論法による（距離空間での）連続の定義
X,Y が距離空間であって，次が成り立つとき，写像 f:X\longrightarrow Y は点 a \in X で連続であるという．
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0\ \ s.t.\ \ f(B^X(a;\delta))\subset B^Y(f(a);\varepsilon))
（距離空間での）連続写像の定義
写像 f:X\longrightarrow Y が任意の点 a\in X で連続であるとき， f を連続写像という．
5. 位相空間での連続写像の定義
位相空間での連続写像の定義
2 つの位相空間 (S,\mathcal{O}),\ (S’,\mathcal{O}’) があるとき，写像 f:S\longrightarrow S’ が連続であるとは，
O’\in \mathcal{O}’ \Longrightarrow f^{-1}(O’)\in \mathcal{O}
となることである．
一様連続の定義を除いて，定義は上から下にかけて，一般化・抽象化されています．
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