「位相空間論」カテゴリーアーカイブ

位相空間での連続写像の定義の妥当性

次の 2 つは同値である．

$$\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0\ \ s.t.\ \ f(B^X(a;\delta))\subset B^Y(f(a);\varepsilon))$$

$$O_y\in \mathcal{O}_Y \Longrightarrow f^{-1}(O_y)\in \mathcal{O}_X$$

2020年09月07日

集合 $S\ (\neq \emptyset)$ の部分集合系 $\mathfrak{O}$ が次の 3 つの条件を満たすとき， $\mathfrak{O}$ を $S$ の位相という．
(i) $S\in \mathfrak{O}$ かつ $\emptyset\in \mathfrak{O}$
(ii) $O_1,O_2\in \mathfrak{O}$ ならば $O_1\cap O_2\in \mathfrak{O}$
(iii) $O_{\lambda}\in \mathfrak{O}\ (\lambda\in\Lambda)$ ならば $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in \mathfrak{O}$

2020年09月04日

いろいろな連続の定義

1. limによる連続関数の定義
2. $\varepsilon-\delta$ 論法による連続関数の定義
3. $\varepsilon-\delta$ 論法による一様連続の定義
4. $\varepsilon-\delta$ 論法による（距離空間での）連続写像の定義
5. 位相空間での連続写像の定義

2020年09月02日