\(X,Y,Z\) は \(K\) ベクトル空間とする．( \(K\) は \(\mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) である )
逆作用素
定義 5.1
\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) に対して，\(S\) が \(T\) の逆作用素であるとは \(S\) が \(Y\) から \(X\) への線形作用素であって，
\[R(S)\subset D(T) \ ,\quad TSy = y \quad (y\in D(S))\]
かつ，
\[R(T)\subset D(S)\ ,\quad STx = x\quad (x\in D(T))\]
を満たすことである．またこのとき，\(S\) を \(T^{-1}\) で表す．
ここで \(T\) の逆作用素 \(S\) は ( 定義域を除いて ) 一意的に定まる．実際，\(T\) の逆作用素 \(S,S’\) が存在すると仮定すると，任意の \(y\in D(S)=D(S’)\) に対して，
\[ TSy = y\ ,\ S’T(Sy) = Sy \ \Longrightarrow \ S’y = S’TSy = Sy \]
が成り立つからである．
\(X,Y,Z\) をノルム空間とし，\(T\in \mathscr{B}(X,Y),S\in \mathscr{B}(Y,Z)\) の逆作用素 \(T^{-1}\in \mathscr{B}(Y,X),\) \(S^{-1}\in \mathscr{B}(Z,Y)\) が存在すると仮定すると，
\[(TS)^{-1} = S^{-1}T^{-1}\]
となる．なぜなら，任意の \(y\in Y\) に対して
\[(TS)(S^{-1}T^{-1})y = TT^{-1}y = y\]
が成り立つ．また，任意の \(y\in Y\) に対して
\[ (S^{-1}T^{-1})(TS)y = S^{-1}Sy = y \]
が成り立つからである．
命題 5.2
\(X\) をバナッハ空間とし，\(T\in \mathscr{B}(X,X)\) をとる．もし，\(\|T\|<1\) ならば \((I-T)^{-1}\in \mathscr{B}(X,X)\) が存在し，
\[(I-T)^{-1} = I+T+T^2+T^3+\cdots\]
である．また，\(\|(I-T)^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\|T\|}\) である．
＊ \(I+T+T^2+\cdots\) をノイマン ( Neumann ) 級数と呼ぶ．
証明
\(\|T\|<1\) だから \(\sum_{k=0}^{\infty}\|T\|^k\) は収束する．また，\(\|T^k\|\leq \|T\|^k\) であるから，任意の \(\varepsilon\) に対して \(n,m\) を十分に大きくすると，
\[ \left\|\sum_{k=0}^{n}T^k-\sum_{k=0}^{m}T^k\right\| = \left\|\sum_{k=m+1}^{n}T^k\right\| \leq \sum_{k=m+1}^{n}\|T\|^k < \varepsilon \]
となり，\(\sum_{k=0}^{n}T^k\) はコーシー列であるので，\(\mathscr{B}(X,X)\) の完備性より極限値 \(\tilde{T}\) が存在する．ここで，
\[(I-T)\tilde{T} = \tilde{T}(I-T) = \sum_{k=0}^{\infty}T^{k}-\sum_{k=0}^{\infty}T^{k+1} = T^0 = I\]
より， \((I-T)^{-1}=\tilde{T}\) である．また，
\[\|(I-T)^{-1}\| = \left\|\sum_{k=0}^{\infty}T^k\right\| \leq \sum_{k=0}^{\infty}\|T\|^k = \frac{1}{1-\|T\|}\]
逆作用素の例
例 5.3 （ \(l^p\) 上の作用素）
作用素 \(T_n:l^p\to l^p\ \ (n\in\mathbb{Z})\) を関数解析 \(4\) 例 \(4.9\) で定めた有界線形作用素
\[T_nx = \left\{
\begin{array}{ccc}
(x_n,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) & \quad & (n\geq 0) \\
(\underbrace{0,\cdots,0}_{|n|},x_0,x_1,x_2,\cdots) & \quad & (n\leq 0)
\end{array}
\right.
\]
とする．ここで，\(n\geq 0\) に対して \(T_n\) の定義域を \(R(T_{-n})\) に制限する．このとき
\[T_{-n}T_{n}x = x \quad(x\in R(T_{-n}))\]
\[T_nT_{-n}y = y \quad(y\in l^p)\]
が成り立つので，これは逆作用素である．
例 5.4 （ \(L^p(\Omega)\) 上の作用素）
関数 \(k:\Omega\to\mathbb{C}\) が実数 \(\alpha \geq \beta >0\) があって，
\[\beta\leq |k(x)|\leq \alpha\quad (\mu -\text{a.e.})\]
を満たす関数とする．このとき，\(f,g\in L^p(\Omega)\) に対して，
\[(Tf)(x) = k(x)f(x)\]
\[(Sg)(x) = \frac{g(x)}{k(x)}\]
と定めると，\(T,S\in \mathscr{B}(L^p(\Omega),L^p(\Omega))\) で \(S=T^{-1}\) である．
例 5.5 （ \(L^2(\Omega)\) 上の作用素）
作用素 \(T\in\mathscr{B}(L^2(\Omega),L^2(\Omega))\) を関数解析 \(4\) 例 \(4.11\) で定めた
\[(Tf)(x) = \int_{\Omega}k(x,y)f(y)\ dy\]
とする．ここで \(\Omega = [a,b]\) として，
\[M(b-a)<1\quad \left(M:=\sup_{x,y\in[a,b]}|k(x,y)|\right)\]
と仮定すると \(\|T\|<1\) であるから，\((I-T)^{-1}\in\mathscr{B}(L^2(\Omega),L^2(\Omega))\) が存在する．作用素\(H\) を次のように定める
\[k_1(x,y)=k(x,y)\]
\[k_n(x,y)=\int_{a}^{b}k_1(x,t)k_{n-1}(t,y)\ dt \quad (n>1)\]
\[h(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}k_n(x,y)\]
\[(Hg)(x) = \int_{a}^{b}h(x,y)g(y)\ dy\]
この \(H\) によって \((I-T)^{-1}=I+H\) と表せる．( 証明略 )
閉作用素
関数解析 \(4\) 例 \(4.12\) で見たように有界線形作用素でない例が存在するから，有界線形作用素を含む線形作用素のクラスを考えたい．
実際，このような作用素は量子力学で現れ，これを扱うために非有界作用素の理論が生まれた．
\(T\) を \(X\) から \(Y\) への線形作用素に対して，\(X\times Y\) の部分集合 \(G(T)\) を
\[ G(T) = \left\{(x,Tx)\in X\times Y \mid x\in D(T)\right\} \]
と定める．この集合を \(T\) のグラフという．(一般の写像に対しても定義可能）この \(G(T)\) を
\[(x_1,y_1)+(x_2+y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2)\]
\[a(x,y) = (ax,ay)\]
によって部分空間とみなす．線形作用素のグラフは次のように特徴付けされる．
命題 5.6
\(T\) が線形作用素であるとき，\(G(T)\) は次を満たす．
\[(0,y)\in G(T)\Rightarrow y=0\ .\]
また \(G\) を \(X\times Y\) の部分空間で上の性質を満たすものとする．このとき \(G(S)=G\) となる線形作用素 \(S\) ただ一つ存在する．
証明
前半は定義から明らかである．
後半を示す． \((x,y)\in G\) に対して \(Sx=y\) と定める．この定義が well-defined であることは \((x,y),(x,y’)\in G\) をとると，仮定より
\[(x,y)-(x,y’) = (0,y-y’) \Rightarrow y=y’\]
であることからわかる．\(S\) が線形作用素であることは \(G\) が部分空間であることからわかる．一意性は well-def 性と全く同様．
定義 5.7
ノルム空間 \(X\) からノルム空間 \(Y\) への線形作用素 \(T\) が閉作用素であるとは \(G(T)\) が閉部分空間となることである．
ノルム空間の閉集合の定義から直ちわかるように ( 関数解析 \(1\) 参照 ) ，\(G(T)\) が閉部分集合であるとは，つまり \(T\) が閉作用素であるとは，
\[ x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to x\in X \ , \ \ Tx_n\to y\in Y \]
\[ \Longrightarrow x\in D(T)\ ,\ \ Tx = y \]
を満たすことである．
線形作用素 \(T\) が連続で \(D(T)\) が閉部分空間であるとは，
\[ x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to x\in X\]
\[ \Longrightarrow x\in D(T)\ ,\ \ Tx_n\to y\in Y \ ,\ \ Tx = y \]
を満たすことなので，明らかに \(T\) が \(D(T)\) が閉部分空間となる有界作用素 ( つまり連続 ) であるならば， \(T\) は閉作用素である．
特に \(Y\) がバナッハ空間であれば，任意の有界線形作用素は \(\mathscr{B}(X,Y)\) の元であると見做して良い ( 関数解析 \(4\) 定理 \(4.8\) 周辺を参照 ) ので有界線形作用素は閉作用素であると思える．
逆に次のことが知られている．
閉グラフ定理
\(X,Y\) がバナッハ空間とする．\(X\) から \(Y\) への閉作用素 \(T\) が \(D(T)=X\) であるとき，\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) である．
これを示すのは容易でないのでここでは紹介のみとする．
閉作用素の特徴づけとして次の定理がある．
定理 5.8
\(X,Y\) がバナッハ空間であるとき，\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) が閉作用素であるための必要十分条件は定義域 \(D(T)\) に定めたノルム
\[\|x\|_{D(T)} := \|x\|_X + \|Tx\|_Y \]
によって，\(D(T)\) がバナッハ空間となることである．
証明
\(T\) を閉作用素とする．\(\{x_n\}\) を \(\|\cdot\|_{D(T)}\) における \(D(T)\) のコーシー列とする．このとき定義から，\(\{x_n\},\{Tx_n\}\) は \(X,Y\) のコーシー列である．\(X,Y\) の完備性より \(x_n\to x\in X\ ,\ \ Tx_n\to y\in Y\) となる \(x,y\) が存在する．したがって，\(T\) が閉作用素であるので \(x\in D(T)\ ,\ \ Tx=y\) となり，
\[\|x_n-x\|_{D(T)} = \|x_n-x\|_X + \|Tx_n-Tx\|_Y \to 0\]
であるので，\(D(T)\) はバナッハ空間である．
逆を示す．\(x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to x\in X \ , \ \ Tx_n\to y\in Y\) とすると，\(\{x_n\},\{T(x_n)\}\) はそれぞれ \(X,Y\) に対してコーシー列であるから \(\{x_n\}\) は \(\|\cdot\|_{D(T)}\) に対するコーシー列である．\(D(T)\) は完備なので \(x\in D(T)\) が存在して
\[\|x_n-x\|_{D(T)} = \|x_n-x\|_X + \|Tx_n-Tx\|_Y \to 0\]
となる．極限の一意性より \(x\in D(T)\ ,\ \ Tx=y\) である．
＊閉作用素をバナッハ空間の間の作用素に制限して \(\|\cdot\|_{D(T)}\) の完備性で定義することも多い．
命題 5.9
\(X,Y\) をノルム空間とする．\(T\) を \(X\) から \(Y\) への閉作用素で，\(S\in \mathscr{B}(X,Y)\) とするとき，\(T+S\) も閉作用素である．
証明
まず，\(D(T+S)=D(T)\) である．ここで，
\[ x_n\in D(T+S)\ ,\ \ x_n\to x\in X \ , \ \ (T+S)x_n\to y\in Y \]
とすると \(S\) は連続なので，\(Sx_n\to Sx\in Y\) となり，
\[\|Tx_n-(y-Sx)\| \leq \|(T+S)x_n-y\|+\|Sx-Sx_n\|\to 0\]
だから，\(Tx_n\to y-Sx_n\) となる．したがって，\(T\) が閉作用素だから
\[ x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to x\in X \ , \ \ Tx_n\to y-Sx\in Y \]
\[ \Longrightarrow x\in D(T)\ ,\ \ Tx = y-Sx \]
となり，\(x\in D(T+S)\) かつ \((T+S)x = y\) が成り立つ．よって，\(T+S\) は閉作用素である．
例 5.10 （ \(C[a,b]\) 上の作用素）
関数解析 \(4\) 例 \(4.12\) で定めた \(C[a,b]\) から \(C[a,b]\) への非有界線形作用素
\[(Tf)(x) = f'(x)\quad(f\in D(T))\]
は閉作用素である．
証明
\(C[a,b]\) はバナッハ空間であるから \(\|\cdot\|_{D(T)}\) が完備であることを示せば良い．
\[\|f_n-f_m\|_{D(T)} = \|f_n-f_m\|+\|f_n’-f_m’\|\to 0\]
とすると \(C[a,b]\) の完備性から
\[\|f_n-f\|\to 0\ ,\quad \|f_n’-g\|\to 0\]
となる \(f,g\in C[a,b]\) が存在する．
\[f_n(x)-f_n(a)=\int_{a}^{x}f_n'(y)\ dy\]
であるから \(n\to\infty\) とすると
\[f(x)-f(a)=\int_{a}^{x}g(y)\ dy\]
である．ここで極限と積分の交換はノルム \(\|\cdot\|\) の定め方から \(f_n’\) が一様収束することからわかる.また同様に一様収束性から，\(f\in C^1[a,b]\) かつ \(f’=g\) ．ゆえに
\[\|f_n-f\|_{D(T)} = \|f_n-f\|+\|f_n’-f’\|\to 0\]
可閉な作用素
定義 5.11
線形作用素 \(T\) が可閉であるとは閉作用素 \(S\) で \(S|_{D(T)} = T\) となるものが存在することである．またこのとき，\(S\) を \(T\) の閉拡大という．
定理 5.12
\(X,Y\) をバナッハ空間とする．\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) が可閉であるための必要十分条件は
\[x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to 0\ ,\ \ Tx_n\to y \Longrightarrow y=0\]
となることである．
証明
\(T\) を可閉とする．このとき閉拡大 \(T_1\) が存在し，
\[x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to 0\ ,\ \ Tx_n\to y\]
とすると，\(y=T_1(0)=0\) ．
逆を示す．\(x_n\in D(T)\ ,\ \ x_n\to 0\ ,\ \ Tx_n\to y\) を仮定する．\(x_n\in D(T),\ x_n\to x\in X\) かつ \(\{Tx_n\}\) がコーシー列となる \(\{x_n\}\) が存在するような \(x\in X\) 全体の集合を \(D\) とする．\(\{Tx_n\}\) はコーシー列なので， \(Tx_n\to y\in Y\) となる \(y\) が存在する． \(\{x_n\}\) と同様の条件を満たす \(\{x’_n\}\) をとると，\(Tx’_n\to y’\in Y\) となる \(y’\) が存在する．このとき， \(x_n-x’_n\in D(T)\) は \(x_n-x’_n\to 0\) かつ \(T(x_n-x’_n)\to y-y’\) となる．よって，仮定より \(y=y’\) ．したがって \(y\) は \(x\) によってのみ決まる．よって \(x\in D\) に対して \(\tilde{T}x=y\) と定める．\(\tilde{T}\) が線形作用素であることは容易にわかる．また明らかに \(D=D(\tilde{T}),\ T=\tilde{T}|_{D(T)}\) である．
\(\tilde{T}\) が閉作用素であることを示す．
\[ x_n\in D\ ,\ \ x_n\to x\in X \ , \ \ \tilde{T}(x_n)\to y\in Y \]
となる \(\{x_n\}\) をとる．\(D\) の定め方より
\[\|x_n-z_n\|<\frac{1}{n}\ ,\quad \|\tilde{T}x_n-Tz_n\|<\frac{1}{n} \]
となる \(z_n\in D(T)\) が存在する．
\[\|z_n-x\|\leq \|z_n-x_n\| + \|x_n-x\| \to 0 \]
\[\|Tz_n-y\| \leq \|Tz_n-\tilde{T}x_n\| + \|\tilde{T}x_n-y\| \to 0 \]
したがって，\(x\in D\) かつ \(\tilde{T}(x)=y\) である．よって \(\tilde{T}\) は閉作用素で \(T\) は可閉である．
今回は以上です．お疲れ様でした．