「解説・紹介」カテゴリーアーカイブ

連分数【数論2】

1. 正の連分数
2. 正の連分数展開
3. 正の連分数展開の一意性
4. 負の連分数
5. 負の連分数展開
6. 負の連分数展開の一意性と性質
7. 正の連分数と負の連分数の変換
8. 連分数と整数係数二次方程式の関係(おまけ)
9. 連分数展開の例
2022年03月06日


整数論の基本概念【数論1】

1.有理整数環上のイデアル論
2.オイラー関数とメビウス関数
3.有限体
4.平方剰余
2022年02月22日


収束定理【ルベーグ積分4】

優収束定理
\(f,\ f_n:S\to\mathbb{C}\) を可測関数とする.\(A\) 上各点で \(\lim f_n = f\) かつ \(\sup_{n\geq 1}|f_n|\) が \(A\) 上可積分のとき次が成り立つ. \[\lim_n \int_A |f_n-f|\ d\mu = 0\]\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]
2022年02月15日


ルベーグ積分【ルベーグ積分3】

\(f:S\to[0,\infty]\) を可測関数とする.このとき \(f\) の \(A\in\mathscr{A}\) 上での積分を以下で定める. \[\int_A f d\mu \overset{\rm{def}}{=} \sup\left\{ \int_A g\ d\mu\ \middle|\ A\rm{上}\ 0\leq g \leq f\ ,\ g:\rm{可測単関数} \right\} \]
2022年02月06日


関数解析5(逆作用素と閉作用素)

\(X,Y\) がバナッハ空間であるとき,\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) が閉作用素であるための必要十分条件は定義域 \(D(T)\) に定めたノルム\[\|x\|_{D(T)} := \|x\|_X + \|Tx\|_Y \]によって,\(D(T)\) がバナッハ空間となることである.
2021年12月23日


関数解析4(有界線形作用素)

\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) に対して\[ \|T\| := \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}\]と定めると,これは \(\mathscr{B}(X,Y)\) のノルムである.また,\(Y\) をバナッハ空間とすると,このノルムにより \(\mathscr{B}(X,Y)\) はバナッハ空間となる.
2021年12月16日


関数解析3(ONS, CONS)

内積空間 \(X\) の部分集合 \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) が\[(x_{\lambda}, x_{\mu}) = \delta_{\lambda\mu}\]を満たすとき,\(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) を ONS という.また,この \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}\) が CONS であるとは\[X= \overline{\mathcal{LH}(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda})} \]となることである.
2021年12月11日


関数解析2(ヒルベルト空間)

内積空間 \(X\) が内積から定まるノルムに関して完備であるとき,\(X\) をヒルベルト ( Hilbert ) 空間という.
2021年11月26日


関数解析1(バナッハ空間)

完備なノルム空間をバナッハ ( Banach ) 空間という.
2021年11月25日


ボレル集合族と可測関数【ルベーグ積分2】

可測関数 \(f:S\to [0,\infty]\) はある単関数列 \(\{f_n:S\to [0,\infty)\}_{n\geq 1}\) の極限として表現できる.
2021年11月01日