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\(f:G\longrightarrow G'\) を準同型とするとき次が成り立つ．

(1) \(f\) の核 \({\rm Ker} f\) による \(G\) の剰余群 \(G/{\rm Ker}f\) は写像 $$G/{\rm Ker} f \ni x\ {\rm Ker} f\longmapsto f(x)\in {\rm Im}f=f(G)$$によって， \(G'\) の部分群 \({\rm Im}f\) と同型である．

(2) \(H \triangleleft G\) でかつ \(H\subset{\rm Ker}f\) のとき， \(p\)を \(G\) から \(G/H\) への自然な射影とすると，任意の \(x\in G\) に対して， \(f(x)=\varphi (p(x))\) となるような準同型 \(\varphi\) が唯一つ存在する．

群 \(G\) とその正規部分群 \(H\) による剰余類集合 \(G/H\) がなす群を \(G\) の \(H\) による剰余群という．

群 \(G\) の剰余類が任意の \(g\in G\) で， $$gH=Hg$$となるような \(G\) の部分群 \(H\) を正規部分群といい， \(H \triangleleft G\) とかく．

群 \(G\) とその部分群 \(H\) に対して \(G\) の部分集合を次のように定義する． $$xH:=\{xh\in G\ |\ h\in H\}$$このような部分集合 \(xH\) を \(H\) による左剰余類とよぶ．

$$(G:H)\ \# H=\# G$$

2 つの群 \(G,G'\) に対して写像 \(f:G\longrightarrow G'\) があって，任意の \(x,y\in G\) に対して $$f(xy)=f(x)f(y)$$をみたすとき， \(f\) を \(G\) から \(G'\) への準同型という．

群 \(G\) の空でない部分集合 \(S\) があるとき， \(S\) の元，およびその逆元の有限個の積 $${x_1}^{\varepsilon_1}{x_2}^{\varepsilon_2}\dots {x_n}^{\varepsilon_n}\quad (x_i \in S,\ \varepsilon_i=\pm 1,\ 1\leq n \lt \infty)$$で表せる \(G\) の元全体の集合を \(\langle S \rangle\) とかく．
\(\langle S \rangle\) は \(G\) の部分群となっていて， \(\langle S \rangle\) を \(S\) が生成する部分群といい， \(S\) を \(\langle S \rangle\) の生成系， \(S\) の元を \(\langle S \rangle\) の生成元という．

群 \(G\) の部分集合 \(H\) が \(G\) の部分群であるとは， \(H\) が \(G\) の単位元 \(e\) を含み \(G\) の演算で群となっていることである．

集合 \(G\) が次の３つの性質を満たすとき \(G\) を群という． (1) 結合法則, (2) 単位元の存在, (3) 逆元の存在