「解説」カテゴリーアーカイブ

1. 正の連分数
2. 正の連分数展開
3. 正の連分数展開の一意性
4. 負の連分数
5. 負の連分数展開
6. 負の連分数展開の一意性と性質
7. 正の連分数と負の連分数の変換
8. 連分数と整数係数二次方程式の関係（おまけ）
9. 連分数展開の例

1．有理整数環上のイデアル論
2．オイラー関数とメビウス関数
3．有限体
4．平方剰余

\(f,\ f_n:S\to\mathbb{C}\) を可測関数とする．\(A\) 上各点で \(\lim f_n = f\) かつ \(\sup_{n\geq 1}|f_n|\) が \(A\) 上可積分のとき次が成り立つ． \[\lim_n \int_A |f_n-f|\ d\mu = 0\]\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]

\(f:S\to[0,\infty]\) を可測関数とする．このとき \(f\) の \(A\in\mathscr{A}\) 上での積分を以下で定める． \[\int_A f d\mu \overset{\rm{def}}{=} \sup\left\{ \int_A g\ d\mu\ \middle|\ A\rm{上}\ 0\leq g \leq f\ ,\ g：\rm{可測単関数} \right\} \]

\(X,Y\) がバナッハ空間であるとき，\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) が閉作用素であるための必要十分条件は定義域 \(D(T)\) に定めたノルム\[\|x\|_{D(T)} := \|x\|_X + \|Tx\|_Y \]によって，\(D(T)\) がバナッハ空間となることである．

\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) に対して\[ \|T\| := \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}\]と定めると，これは \(\mathscr{B}(X,Y)\) のノルムである．また，\(Y\) をバナッハ空間とすると，このノルムにより \(\mathscr{B}(X,Y)\) はバナッハ空間となる．

内積空間 \(X\) の部分集合 \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) が\[(x_{\lambda}, x_{\mu}) = \delta_{\lambda\mu}\]を満たすとき，\(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) を ONS という．また，この \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}\) が CONS であるとは\[X= \overline{\mathcal{LH}(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda})} \]となることである．

内積空間 \(X\) が内積から定まるノルムに関して完備であるとき，\(X\) をヒルベルト ( Hilbert ) 空間という．

完備なノルム空間をバナッハ ( Banach ) 空間という．

可測関数 \(f:S\to [0,\infty]\) はある単関数列 \(\{f_n:S\to [0,\infty)\}_{n\geq 1}\) の極限として表現できる．