「関数解析」カテゴリーアーカイブ

\(X,Y\) がバナッハ空間であるとき，\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) が閉作用素であるための必要十分条件は定義域 \(D(T)\) に定めたノルム\[\|x\|_{D(T)} := \|x\|_X + \|Tx\|_Y \]によって，\(D(T)\) がバナッハ空間となることである．

\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) に対して\[ \|T\| := \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}\]と定めると，これは \(\mathscr{B}(X,Y)\) のノルムである．また，\(Y\) をバナッハ空間とすると，このノルムにより \(\mathscr{B}(X,Y)\) はバナッハ空間となる．

内積空間 \(X\) の部分集合 \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) が\[(x_{\lambda}, x_{\mu}) = \delta_{\lambda\mu}\]を満たすとき，\(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) を ONS という．また，この \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}\) が CONS であるとは\[X= \overline{\mathcal{LH}(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda})} \]となることである．

内積空間 \(X\) が内積から定まるノルムに関して完備であるとき，\(X\) をヒルベルト ( Hilbert ) 空間という．

完備なノルム空間をバナッハ ( Banach ) 空間という．