「ルベーグ積分」カテゴリーアーカイブ
収束定理【ルベーグ積分4】
優収束定理
\(f,\ f_n:S\to\mathbb{C}\) を可測関数とする．\(A\) 上各点で \(\lim f_n = f\) かつ \(\sup_{n\geq 1}|f_n|\) が \(A\) 上可積分のとき次が成り立つ．
\[\lim_n \int_A |f_n-f|\ d\mu = 0\]\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]
2022年02月15日ルベーグ積分【ルベーグ積分3】
\(f:S\to[0,\infty]\) を可測関数とする．このとき \(f\) の \(A\in\mathscr{A}\) 上での積分を以下で定める．
\[\int_A f d\mu \overset{\rm{def}}{=} \sup\left\{ \int_A g\ d\mu\ \middle|\ A\rm{上}\ 0\leq g \leq f\ ,\ g：\rm{可測単関数} \right\} \]
2022年02月06日ボレル集合族と可測関数【ルベーグ積分2】
可測関数 \(f:S\to [0,\infty]\) はある単関数列 \(\{f_n:S\to [0,\infty)\}_{n\geq 1}\) の極限として表現できる．
2021年11月01日σ加法族と測度【ルベーグ積分1】
集合 \(S\) の部分集合族 \(\mathscr{A}\) が以下の 3 条件を満たすとき， \(\mathscr{A}\) を \(\sigma\) 加法族という．
$$ \emptyset \in \mathscr{A} \tag{1}$$ $$ A\in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c\in \mathscr{A} \tag{2}$$ $$ \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A} \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A} \tag{3}$$
2021年09月09日$$ \emptyset \in \mathscr{A} \tag{1}$$ $$ A\in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c\in \mathscr{A} \tag{2}$$ $$ \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A} \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A} \tag{3}$$