群の定義【群論入門シリーズ1】

演算

群の定義を行う前に演算を定義します．

演算の定義

集合 $S$ と $n\geq 2$ に対する次の写像 $\phi$ を演算という． $$\phi:\underbrace{S\times S\times \dots \times S}_{n} \longrightarrow S$$

上の定義だけではわかりづらいので，少し補足します．

演算とは集合 $S$ の順番を気にして並べた $n$ 個の任意の元 $(x_1,x_2,…,x_n)$ に対してただ一つの $S$ の元を対応させる規則のことをいいます．

ここで，順番を気にしてと述べたのは， $(x_1,…,x_i,…,x_j,…,x_n)$ と， $x_i$ と $x_j$ を入れ替えた $(x_1,…,x_j,…,x_i,…,x_n)$ を異なるものとみなす．ということです．

ここで，特に $n=2$ のときの演算

$$\phi:S\times S\ni (x,y) \longmapsto \phi (x,y) \in S$$

を二項演算といい，特に断りがなければ演算といえば二項演算を指します．

$\phi (x,y)$ を簡単に $x+y$ や $x\times y$ などと書いて，この $+,\times$ を演算と呼ぶこともあります．

演算の例

(1) $\mathbb{R}$ に対して，通常の演算 $+,\times$ は $\mathbb{R}$ の演算となる． $$\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni (x,y)\longmapsto x+y\in \mathbb{R}$$ $$\mathbb{R}\times\mathbb{R}\ni (x,y)\longmapsto x\times y\in \mathbb{R}$$
(2) $n$ 次実正方行列全体の集合 $M_n(\mathbb{R})$ に対して，行列の和と積は $M_n(\mathbb{R})$ の演算となる． $$M_n(\mathbb{R})\times M_n(\mathbb{R})\ni (A,B)\longmapsto AB\in M_n(\mathbb{R})$$ $$M_n(\mathbb{R})\times M_n(\mathbb{R})\ni (A,B)\longmapsto A+B\in M_n(\mathbb{R}) $$
(3) 集合 $X$ から $X$ への全単射全体の集合 $\mathfrak{F}[X]$ に対して，写像の合成 $\circ$ は $\mathfrak{F}[X]$ の演算となる． $$\mathfrak{F}[X]\times \mathfrak{F}[X]\ni (f,g)\longmapsto f\circ g\in \mathfrak{F}[X]$$

群の定義

では群の定義をします．

まず，集合 $G$ で演算 $\phi$ が定義されているとき， $\phi (x,y)$ を簡単に $xy$ と書き，積と呼ぶことにします．このとき，群を以下のように定義します．

群の定義

集合 $G$ とその上で定義された演算について次の３つの性質を満たすとき $G$ を群という．特に任意の $x,y\in G$ に関して $xy=yx$ をみたすとき， $G$ を可換群という．

(1) 結合法則：任意の $G$ の元 $x,y,z$ について $$(xy)z=x(yz)$$ (2) 単位元の存在：ある $G$ の元 $e$ (単位元と呼ぶ)が存在して，任意の $G$ の元 $x$ について $$xe=ex=x$$ (3) 逆元の存在：任意の $G$ の元 $x$ についてある $G$ の元 $x^{-1}$ (逆元と呼ぶ)が存在して $$xx^{-1}=x^{-1}x=e$$

群の例

(1) 有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は演算 $+$ に対して可換群となる．実際，単位元を 0 ， $x\in\mathbb{Q}$ の逆元を $-x\in\mathbb{Q}$ と取れて，定義の３つの性質を満たす． \[x+(y+z)=(x+y)+z\] \[x+0=0+x=x\] \[x+(-x)=(-x)+x=0\]

(2) 有理数全体の集合から0を除いた集合 $\mathbb{Q}^\times$ は演算 $\times$ に対して可換群となる．実際，単位元を1， $x\in\mathbb{Q}$ の逆元を $x^{-1}=1/x\in\mathbb{Q}$ と取れて，定義の３つの性質を満たす． \[x\times(y\times z)=(x\times y)\times z\] \[x\times1=1\times x=x\] \[x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=1\] しかし，有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は演算 $\times$ に対しても群とならない．なぜなら $0\in\mathbb{Q}$ に対する逆元が存在しないためである．

(3) 整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は演算 $+$ に対して $\mathbb{Q}$ 同様に可換群となる．
しかし，演算 $\times$ に対しては群とならない．なぜなら，例えば $2\in\mathbb{Z}$ に対する逆元は $\mathbb{Z}$ に存在しないためである．（ $1/2\notin\mathbb{Z}$ ）

(4) $\{1\}$ は通常の積に関して可換群となる．

(5) $\{1,-1,i,-i\}$ （ $i$ は虚数単位）は通常の積に関して可換群となる．

(6) $n$ 次実正方行列全体の集合 $M_n(\mathbb{R})$ は，行列の和に対して可換群となる．
また， $M_n(\mathbb{R})$ の部分群 $$GL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|\neq 0\}$$ （ $|A|$ は行列 $A$ の行列式の値）は行列の積に関して群となる．
ここで，一般に $A,B\in GL_n(\mathbb{R})$ に対して， $AB= BA$ は成り立たないので， $GL_n(\mathbb{R})$ は非可換な群である．
行列の積に関する群 $GL_n(\mathbb{R})$ を一般線形群と呼ぶ．

(7) 元の個数が $n$ 個の有限集合 $S$ から $S$ への全単射全体の集合 $\mathfrak{S}_n$ は合成写像 $\circ$ に関して非可換な群となる．
単位元は恒等写像，逆元は逆写像となる．
$\mathfrak{S}_n$ の元を $S$ の元を並び替える操作と同一視して置換と呼び，群 $\mathfrak{S}_n$ を $n$ 次対称群と呼ぶ．

群の性質

定理（単位元と逆元の一意性）

群 $G$ に対して，単位元はただ 1 つであり，各元 $x$ に対する逆元もただ 1 つである．

証明

単位元が $e,e’$ の 2 つあるとする．このとき， $$e=ee’=e’$$ より，単位元はただ 1 つ． $G$ の元 $x$ に対する逆元が $x’,x”$ の 2 つあるとする．このとき， $$x’=x’e=x'(xx”)=(x’x)x”=ex”=x”$$ より，各元 $x$ に対する逆元がはただ 1 つ．

定理

群 $G$ に対して， $x,y\in G$ ならば， $(x^{-1})^{-1}=x$ ， $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ が成り立つ．

証明

$(x^{-1})^{-1}$ は $x^{-1}$ の逆元であり， $x$ も $x^{-1}$ の逆元であるので，逆元の一意性より， $(x^{-1})^{-1}=x$ が成り立つ．

$(xy)^{-1}$ は $xy$ の逆元であり， $y^{-1}x^{-1}$ も $$(xy)(y^{-1}x^{-1})=x(yy^{-1})x^{-1}=xex^{-1}=xx^{-1}=e$$ より， $y^{-1}x^{-1}$ も $xy$ の逆元なので，逆元の一意性より $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ が成り立つ．

集合 $M$ の上で演算が定義されていて，群の定義の中の条件 (1) ， (2) のみが成り立つ集合をモノイドといい， $M$ の中の逆元が存在する元のみの集合は群となり， $M^{\times}$ と表します．

$$M^{\times}=\{x\in M\ |\ x^{-1}\in M\}$$

$M^{\times}$ の元を $M$ の単元といい， $M^{\times}$ を $M$ の単元群といいます．

Please Share