【群論入門シリーズ】
部分群の定義
集合に対して部分集合が考えられるように，群に対しても部分群というものが考えられます．
部分群の定義
群 \(G\) の部分集合 \(H\) が \(G\) の部分群であるとは， \(H\) が \(G\) の単位元 \(e\) を含み \(G\) の演算で群となっていることである．
この定義は以下の 2 つの定義と同値になります．
部分群の定義*
群 \(G\) の空でない部分集合 \(H\) について，
$$x,y\in H \Longrightarrow xy\in H \tag{1}$$
$$x\in H \Longrightarrow x^{-1} \in H \tag{2}$$
を満たすとき \(H\) を \(G\) の部分群という．
部分群の定義**
群 \(G\) の空でない部分集合 \(H\) について，
$$x,y\in H \Longrightarrow xy^{-1}\in H$$
を満たすとき \(H\) を \(G\) の部分群という．
部分群の 3 つの定義が同値であることの証明
・部分群の定義 \(\Longrightarrow\) 部分群の定義* を示す．
\(e\in H\) であるので， \(H\) は空でない．また， \(H\) は \(G\) の演算で群となるので，当然(1)，(2)を満たす．
・部分群の定義 \(\Longleftarrow\) 部分群の定義* を示す．
\(H\) の元が \(G\) の演算で結合法則を満たすことは \(H\) が \(G\) の部分集合であることがら明らかなので， \(e\in H\) であることを示せば良い．(1)，(2)より， $$x\in H \Longrightarrow x,x^{-1} \in H \Longrightarrow xx^{-1}=e \in H$$ より， \(H\) は \(G\) の単位元 \(e\) を含む．
したがって，部分群の定義 \(\Longleftrightarrow\) 部分群の定義*
・部分群の定義* \(\Longrightarrow\) 部分群の定義** を示す．
(1)，(2)より， $$x,y\in H \Longrightarrow x,y^{-1}\in H \Longrightarrow xy^{-1}\in H$$
・部分群の定義* \(\Longleftarrow\) 部分群の定義** を示す．
$$x,y\in H \Longrightarrow xy^{-1}\in H$$ であるので， $$x,x\in H \Longrightarrow xx^{-1}=e\in H$$ $$e,x\in H \Longrightarrow ex^{-1}=x^{-1}\in H$$ $$x,y\in H \Longrightarrow x,y^{-1}\in H \Longrightarrow x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$$
したがって，部分群の定義* \(\Longleftrightarrow\) 部分群の定義**
\(e\in H\) であるので， \(H\) は空でない．また， \(H\) は \(G\) の演算で群となるので，当然(1)，(2)を満たす．
・部分群の定義 \(\Longleftarrow\) 部分群の定義* を示す．
\(H\) の元が \(G\) の演算で結合法則を満たすことは \(H\) が \(G\) の部分集合であることがら明らかなので， \(e\in H\) であることを示せば良い．(1)，(2)より， $$x\in H \Longrightarrow x,x^{-1} \in H \Longrightarrow xx^{-1}=e \in H$$ より， \(H\) は \(G\) の単位元 \(e\) を含む．
したがって，部分群の定義 \(\Longleftrightarrow\) 部分群の定義*
・部分群の定義* \(\Longrightarrow\) 部分群の定義** を示す．
(1)，(2)より， $$x,y\in H \Longrightarrow x,y^{-1}\in H \Longrightarrow xy^{-1}\in H$$
・部分群の定義* \(\Longleftarrow\) 部分群の定義** を示す．
$$x,y\in H \Longrightarrow xy^{-1}\in H$$ であるので， $$x,x\in H \Longrightarrow xx^{-1}=e\in H$$ $$e,x\in H \Longrightarrow ex^{-1}=x^{-1}\in H$$ $$x,y\in H \Longrightarrow x,y^{-1}\in H \Longrightarrow x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$$
したがって，部分群の定義* \(\Longleftrightarrow\) 部分群の定義**
部分群の例
部分群の例
(1) 群 \(G\) に対して， \(e\) を \(G\) の単位元とすると， \(\{e\}\) （単位群）と \(G\) 自身は \(G\) の部分群となり，この 2 つの部分群を自明な部分群という．
(2) 通常の加法に関する群 \(\mathbb{R}\) に対して， \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{Z}\) は部分群となる．
(3) \(\mathbb{Z}\) は通常の加法に関して群であり， \(n\in \mathbb{Z}\) に対して， \(n\mathbb{Z}=\{nx\ |\ x\in \mathbb{Z}\}\) は \(\mathbb{Z}\) の部分群となる．
(4) 行列の積に関する群 \(GL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|\neq 0\}\) に対して， \(SL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|=1\}\) は部分群となる．（特殊線形群という）
(5) 行列の積に関する群 \(GL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|\neq 0\}\) に対して， \(SL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ {}^t\!AA=E_n\}\) は部分群となる．（直交群という）
(2) 通常の加法に関する群 \(\mathbb{R}\) に対して， \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{Z}\) は部分群となる．
(3) \(\mathbb{Z}\) は通常の加法に関して群であり， \(n\in \mathbb{Z}\) に対して， \(n\mathbb{Z}=\{nx\ |\ x\in \mathbb{Z}\}\) は \(\mathbb{Z}\) の部分群となる．
(4) 行列の積に関する群 \(GL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|\neq 0\}\) に対して， \(SL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|=1\}\) は部分群となる．（特殊線形群という）
(5) 行列の積に関する群 \(GL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ |A|\neq 0\}\) に対して， \(SL_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\ |\ {}^t\!AA=E_n\}\) は部分群となる．（直交群という）