【群論入門シリーズ】
生成系
生成する部分群の定義
群 \(G\) の空でない部分集合 \(S\) があるとき， \(S\) の元，およびその逆元の有限個の積
$${x_1}^{\varepsilon_1}{x_2}^{\varepsilon_2}\dots {x_n}^{\varepsilon_n}\quad (x_i \in S,\ \varepsilon_i=\pm 1,\ 1\leq n \lt \infty)$$
で表せる \(G\) の元全体の集合を \(\langle S \rangle\) とかく．
\(\langle S \rangle\) は \(G\) の部分群となっていて， \(\langle S \rangle\) を \(S\) が生成する部分群といい， \(S\) を \(\langle S \rangle\) の生成系， \(S\) の元を \(\langle S \rangle\) の生成元という．
\(\langle S \rangle\) は \(G\) の部分群となっていて， \(\langle S \rangle\) を \(S\) が生成する部分群といい， \(S\) を \(\langle S \rangle\) の生成系， \(S\) の元を \(\langle S \rangle\) の生成元という．
\(\langle S \rangle\) は \(S\) を含む最小の部分群と定義することもできます．
巡回群の定義
唯一つの元で生成される群を巡回群といい， \(\langle \{g\} \rangle\) を単に \(\langle g \rangle\) とかく．
生成する部分群の例
(1) 通常の和に関する群 \(\mathbb{Z}\) は， 1 で生成される巡回群である．
(2) 通常の和に関して \(2\in \mathbb{Z}\) で生成される巡回群 \(\langle 2 \rangle\) は 2 の倍数の集合で群となる．
(3) 通常の和に関して \(2,3\in \mathbb{Z}\) で生成される部分群 \(\langle \{2,3\} \rangle\) は \(\mathbb{Z}\) となる．
(4) 複素数全体の集合 \(\mathbb{C}\) は複素数上の通常の積に対して群となる．このとき， $$\langle i \rangle = \{1,-1,i,-i\}$$ $$\langle \omega \rangle = \{1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2\},\quad\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$
(2) 通常の和に関して \(2\in \mathbb{Z}\) で生成される巡回群 \(\langle 2 \rangle\) は 2 の倍数の集合で群となる．
(3) 通常の和に関して \(2,3\in \mathbb{Z}\) で生成される部分群 \(\langle \{2,3\} \rangle\) は \(\mathbb{Z}\) となる．
(4) 複素数全体の集合 \(\mathbb{C}\) は複素数上の通常の積に対して群となる．このとき， $$\langle i \rangle = \{1,-1,i,-i\}$$ $$\langle \omega \rangle = \{1,-1,\omega,-\omega,\omega^2,-\omega^2\},\quad\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} $$
位数
群 \(G\) の元 \(g\) をとって，
$$\underbrace{g g \dots g}_{n}=g^n$$
$$\underbrace{g^{-1} g^{-1} \dots g^{-1}}_{n}=g^{-n}$$
と表すとします． \(\langle g \rangle\) の任意の元は \(g^n\ (n\in \mathbb{Z})\) と表せます．
位数の定義
群 \(G\) の濃度（元の個数）を \(G\) の位数といい， \(\#G\) や \(|G|\) とかく．
\(g\in G\) について， \(g^{n_0}=e\) となる最小の \(n_0\gt 0\) を \(x\) の位数という．
\(g\in G\) について \(n_0\) が存在しないとき， \(g\) の位数は無限であるとする．
\(g\in G\) について， \(g^{n_0}=e\) となる最小の \(n_0\gt 0\) を \(x\) の位数という．
\(g\in G\) について \(n_0\) が存在しないとき， \(g\) の位数は無限であるとする．
位数の例
(1) 通常の和に関する群 \(\mathbb{Z}\) について，群 \(\mathbb{Z}\) の位数は無限であり，任意の \(x\in \mathbb{Z}\ (x\neq 0)\) の位数も無限となる．
(2) \(n\) 次対称群 \(\mathfrak{S}_n\) に対して， \(n=3\) のとき， \(\mathfrak{S}_3\) の位数は 6 である．
\(\mathfrak{S}_3\) の元 \(\sigma\) を次のように定義する． $$\sigma(1)=2,\ \ \sigma(2)=3,\ \ \sigma(3)=1$$ このとき， $$\sigma^2(1)=3,\ \ \sigma^2(2)=1,\ \ \sigma^2(3)=2$$ $$\sigma^3(1)=1,\ \ \sigma^3(2)=2,\ \ \sigma^3(3)=3$$ となるから， \(\sigma\) の位数は 3 である．
また， \(\mathfrak{S}_3\) の元 \(\tau\) を次のように定義する． $$\tau(1)=2,\ \ \tau(2)=1,\ \ \tau(3)=3$$ このとき， $$\tau^2(1)=1,\ \ \tau^2(2)=2,\ \ \tau^2(3)=3$$ となるから， \(\tau\) の位数は 2 である．
(3) 任意の群に対して単位元の位数は 1 である．
(2) \(n\) 次対称群 \(\mathfrak{S}_n\) に対して， \(n=3\) のとき， \(\mathfrak{S}_3\) の位数は 6 である．
\(\mathfrak{S}_3\) の元 \(\sigma\) を次のように定義する． $$\sigma(1)=2,\ \ \sigma(2)=3,\ \ \sigma(3)=1$$ このとき， $$\sigma^2(1)=3,\ \ \sigma^2(2)=1,\ \ \sigma^2(3)=2$$ $$\sigma^3(1)=1,\ \ \sigma^3(2)=2,\ \ \sigma^3(3)=3$$ となるから， \(\sigma\) の位数は 3 である．
また， \(\mathfrak{S}_3\) の元 \(\tau\) を次のように定義する． $$\tau(1)=2,\ \ \tau(2)=1,\ \ \tau(3)=3$$ このとき， $$\tau^2(1)=1,\ \ \tau^2(2)=2,\ \ \tau^2(3)=3$$ となるから， \(\tau\) の位数は 2 である．
(3) 任意の群に対して単位元の位数は 1 である．