【群論入門シリーズ】
準同型
準同型の定義
2 つの群 \(G,G’\) に対して写像 \(f:G\longrightarrow G’\) があって，任意の \(x,y\in G\) に対して
$$f(xy)=f(x)f(y)$$
をみたすとき， \(f\) を \(G\) から \(G’\) への準同型という．
特に \(f\) が全単射であるとき \(f\) を同型とよび， \(G\) と \(G’\) は同型であるといい $$G\simeq G’$$ と表す．
特に \(f\) が全単射であるとき \(f\) を同型とよび， \(G\) と \(G’\) は同型であるといい $$G\simeq G’$$ と表す．
準同型とは集合の間の元の対応のみならず，その元の対応が \(G\) の演算を保っているような写像のことであると言えます．特に，同型のときは \(G\) と \(G’\) を演算を含めて同一のものとみなすことができます．
準同型の例
準同型の例
(1) \((x,y),(x’,y’)\in \mathbb{R}^2\) に対して，演算 \(+\) を
$$(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)$$
と定義すると， \(\mathbb{R}^2\) は群となり，写像 \(f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\) を \(f(x,y)=x+y\) と定義すると
$$f((x,y)+(x’,y’))=f(x+x’,y+y’)\\
=x+y+x’+y’=f(x,y)+f(x’,y’)$$
より， \(f\) は準同型となる．
(2) 次のような恒等写像 \(id\) と，零写像 \(O\) は準同型となる． $$id:G\longrightarrow G\ ,\quad id(x)=x$$ $$O:G\longrightarrow G’\ ,\quad O(x)=e’$$
(3) 和に関する群 \(\mathbb{Z}\) から \(\mathbb{R}\) への写像 \(f(x)=ax\ \ (a\in \mathbb{R})\) は準同型となる．
(4) \(\mathbb{Q}\) から 0 を除いた集合 \(\mathbb{Q}^{\times}\) は演算 \(\times\) に関して群となり， \(\mathbb{Q}^{\times}\) から \(\mathbb{Q}^{\times}\) への写像 \(f(x)=\frac{1}{x}\) は準同型となる． $$f(xy)=\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}\frac{1}{y}=f(x)f(y)$$
(5) 一般線形群 \(GL_n(\mathbb{R})\) から \(\mathbb{R}\setminus \{0\}=\mathbb{R}^{\times}\) への写像 \(det\) を行列の行列式を求める写像とすると， \(det\) は準同型となる．つまり， $$det(AB)=det(A)\ det(B)$$ が成り立つ．
(2) 次のような恒等写像 \(id\) と，零写像 \(O\) は準同型となる． $$id:G\longrightarrow G\ ,\quad id(x)=x$$ $$O:G\longrightarrow G’\ ,\quad O(x)=e’$$
(3) 和に関する群 \(\mathbb{Z}\) から \(\mathbb{R}\) への写像 \(f(x)=ax\ \ (a\in \mathbb{R})\) は準同型となる．
(4) \(\mathbb{Q}\) から 0 を除いた集合 \(\mathbb{Q}^{\times}\) は演算 \(\times\) に関して群となり， \(\mathbb{Q}^{\times}\) から \(\mathbb{Q}^{\times}\) への写像 \(f(x)=\frac{1}{x}\) は準同型となる． $$f(xy)=\frac{1}{xy}=\frac{1}{x}\frac{1}{y}=f(x)f(y)$$
(5) 一般線形群 \(GL_n(\mathbb{R})\) から \(\mathbb{R}\setminus \{0\}=\mathbb{R}^{\times}\) への写像 \(det\) を行列の行列式を求める写像とすると， \(det\) は準同型となる．つまり， $$det(AB)=det(A)\ det(B)$$ が成り立つ．
準同型の性質
命題
\(f\) が群 \(G\) から群 \(G’\) への準同型であるとき， \(G,G’\) それぞれの単位元 \(e,e’\) と，任意の \(x\in G\) に対して，
$$f(e)=e’\ ,\quad f(x^{-1})=f(x)^{-1}$$
が成り立つ．
証明
\(ee=e\) より， \(f(e)f(e)=f(ee)=f(e)\) なので，
$$f(e)=f(e)f(e)f(e)^{-1}=f(e)f(e)^{-1}=e’\ .$$
また，任意の \(x\in G\) に対して，
$$f(x)f(x^{-1})=f(xx^{-1})=f(e)=e’$$
となり，左から \(f(x)^{-1}\) をかけると，
$$f(x^{-1})=f(x)^{-1}e’=f(x)^{-1}\ .$$
像と核
像の定義
集合 \(A\) から集合 \(B\) への写像 \(f\) ががあるとき， \(x\in A\) に対して \(y=f(x)\) となる \(y\in B\) の集合を \(f\) による \(A\) の像といい， \({\rm Im}f\) または \(f(A)\) とかく．
$${\rm Im}f=\{f(x)\in B\ |\ x\in A\}$$
像の例
写像 \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) ， \(g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) を \(f(x)=x^{2}\) ， \(g(x)=1/x\) と定義すると， \(f,g\) の像は，
$${\rm Im}\ f=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x\ge0\}\quad ,\quad {\rm Im}\ g=\{x\in \mathbb{R}\ |\ x\neq0\}\ .$$
核の定義
群 \(G\) から群 \(G’\) への準同型 \(f\) があり， \(G’\) の単位元を \(e’\) とするとき， \(f(x)=e’\) となるような \(x\in G\) の集合を \(f\) の核といい， \({\rm Ker} f\) とかく．
$${\rm Ker} f=\{x\in G\ |\ f(x)=e’\}$$
核の例
\(+\) に関する群 \(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}\)に対して，写像 \(f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R},\ \ f(x,y)=x+y\) は準同型となる．
\({\rm Ker} f\) は \(f(x,y)=0\) となる \(x,y\) の組みであるので，核は直線 \(x+y=0\) となる．
$${\rm Ker} f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ |\ y=-x\}$$
像は任意の空でない集合の間の写像に対して定義できる概念ですが，核は群の間の準同型に対して定義できる概念です．
準同型の像と核の性質
命題
準同型 \(f:G\longrightarrow G’\) があるとき， \({\rm Im}f\) は \(G’\) の部分群である．
証明
任意に \(x’,y’\in {\rm Im}f\) をとると， \(x’=f(x)\) ， \(y’=f(y)\) となるような \(x,y\in G\) があるから，
$$x’,y’\in {\rm Im}f \Longrightarrow x’y’=f(x)f(y)=f(xy)\in {\rm Im}f$$
よって， \(G’\) の演算が \({\rm Im}f\) の演算となっている．
ここで， \(f(e)=e’\) なので \({\rm Im}f\) は単位元を含み空でない．また， $$x’y’^{-1}=f(x)f(y)^{-1}=f(x)f(y^{-1})=f(xy^{-1})\in {\rm Im}f$$ であるので， \({\rm Im}f\) は \(G’\) の部分群となる．
ここで， \(f(e)=e’\) なので \({\rm Im}f\) は単位元を含み空でない．また， $$x’y’^{-1}=f(x)f(y)^{-1}=f(x)f(y^{-1})=f(xy^{-1})\in {\rm Im}f$$ であるので， \({\rm Im}f\) は \(G’\) の部分群となる．
命題
準同型 \(f:G\longrightarrow G’\) が単射であるためには， \({\rm Ker} f=\{e\}\) であることが必要十分である．
証明
\(f\) が単射であるなら，当然 \(f(x)=e’\) となるような \(x\) は \(e\) のみである．逆に \({\rm Ker} f=\{e\}\) であるとき， \(x,y\in G\) に対して， \(f(x)=f(y)\) とすると， \(e’=f(x)f(y)^{-1}=f(xy^{-1})\) ．したがって， \(xy^{-1}\in {\rm Ker}f=\{e\}\) なので， \(x=y\) となり， \(f\) は単射．