【群論入門シリーズ】
群論の重要な定理のひとつである準同型定理の証明を行います．
準同型定理が示すことは，準同型 \(f:G\longrightarrow G’\) があったとき， \(f\) の行先 \({\rm Im}f\) と \(G\) の剰余群との間により良い性質を持つ同型写像が作れるということです．
２つの群が同型であれば一方の演算の結果と，他方の演算の結果を同一視することができます．
また，同型な 2 つの群の位数は等しいということも重要です．
準同型定理
準同型定理
\(f:G\longrightarrow G’\) を準同型とするとき次が成り立つ．
(1) \(f\) の核 \({\rm Ker} f\) による \(G\) の剰余群 \(G/{\rm Ker}f\) は写像 $$G/{\rm Ker} f \ni x\ {\rm Ker} f\longmapsto f(x)\in {\rm Im}f=f(G)$$ によって， \(G’\) の部分群 \({\rm Im}f\) と同型である．
(2) \(H \triangleleft G\) でかつ \(H\subset{\rm Ker}f\) のとき， \(p\)を \(G\) から \(G/H\) への自然な射影とすると，任意の \(x\in G\) に対して， \(f(x)=\varphi (p(x))\) となるような準同型 \(\varphi\) が唯一つ存在する．つまり，次の図式を満たすような準同型 \(\varphi\) が唯一存在する．
(1) \(f\) の核 \({\rm Ker} f\) による \(G\) の剰余群 \(G/{\rm Ker}f\) は写像 $$G/{\rm Ker} f \ni x\ {\rm Ker} f\longmapsto f(x)\in {\rm Im}f=f(G)$$ によって， \(G’\) の部分群 \({\rm Im}f\) と同型である．
(2) \(H \triangleleft G\) でかつ \(H\subset{\rm Ker}f\) のとき， \(p\)を \(G\) から \(G/H\) への自然な射影とすると，任意の \(x\in G\) に対して， \(f(x)=\varphi (p(x))\) となるような準同型 \(\varphi\) が唯一つ存在する．つまり，次の図式を満たすような準同型 \(\varphi\) が唯一存在する．
(1) 証明
\({\rm Ker}f\) が正規部分群であるので， \(G/{\rm Ker}f\) は剰余群である．
\(G/{\rm Ker}f\) から \({\rm Im}f\) への写像を \(\varphi\) と書くとして，まず \(\varphi\) がwell-definedであることを確かめる．つまり代表元の取り方によらず決定することを確かめる．
\(x{\rm Ker}f=y{\rm Ker}f\) とすると， \(x{\rm Ker}f=y{\rm Ker}f \ni y\) であるのである \(a\in {\rm Ker}f\) があって， \(y=xa\) となる．よって， \(f\) が準同型であり， \(a\in {\rm Ker}f\) なので， $$\varphi(y{\rm Ker}f)=f(y)=f(ax)=f(a)f(x)$$ $$=e’f(x)=f(x)=\varphi(x{\rm Ker}f)$$ となる．よって， \(\varphi\) はwell-definedである．
次に \(\varphi\) が準同型であることを確かめる． \(G/{\rm Ker}f\) が剰余群であり， \(f\) が準同型であることから， $$\varphi((x{\rm Ker}f)(y{\rm Ker}f))=\varphi(xy{\rm Ker}f)=f(xy)$$ $$=f(x)f(y)=\varphi(x{\rm Ker}f)\varphi(y{\rm Ker}f)\ .$$ \(\varphi\) が全射であることは任意の \(f(x)\in {\rm Im}f,(x\in G)\) に対して， \(x{\rm Ker}f\) を取れば， \(\varphi(x{\rm Ker}f)=f(x)\) であることからわかる．
\(\varphi\) が単射であることは核が単位元のみであることを示せばよい．つまり， \({\rm Ker}\varphi=\{e{\rm Ker}f\}\) を示せばよい． \(\varphi(x{\rm Ker}f)=e’\) とすると， \begin{eqnarray} \varphi(x{\rm Ker}f)=e’&\Longleftrightarrow& f(x)=e’\\ &\Longleftrightarrow& x\in {\rm Ker} f \Longleftrightarrow x{\rm Ker}f=e{\rm Ker}f \end{eqnarray} したがって， \({\rm Ker}\varphi=\{e{\rm Ker}f\}\) であるので， \(\varphi\) が単射である．
以上で \(\varphi\) は準同型かつ全単射であるので同型写像である．
\(G/{\rm Ker}f\) から \({\rm Im}f\) への写像を \(\varphi\) と書くとして，まず \(\varphi\) がwell-definedであることを確かめる．つまり代表元の取り方によらず決定することを確かめる．
\(x{\rm Ker}f=y{\rm Ker}f\) とすると， \(x{\rm Ker}f=y{\rm Ker}f \ni y\) であるのである \(a\in {\rm Ker}f\) があって， \(y=xa\) となる．よって， \(f\) が準同型であり， \(a\in {\rm Ker}f\) なので， $$\varphi(y{\rm Ker}f)=f(y)=f(ax)=f(a)f(x)$$ $$=e’f(x)=f(x)=\varphi(x{\rm Ker}f)$$ となる．よって， \(\varphi\) はwell-definedである．
次に \(\varphi\) が準同型であることを確かめる． \(G/{\rm Ker}f\) が剰余群であり， \(f\) が準同型であることから， $$\varphi((x{\rm Ker}f)(y{\rm Ker}f))=\varphi(xy{\rm Ker}f)=f(xy)$$ $$=f(x)f(y)=\varphi(x{\rm Ker}f)\varphi(y{\rm Ker}f)\ .$$ \(\varphi\) が全射であることは任意の \(f(x)\in {\rm Im}f,(x\in G)\) に対して， \(x{\rm Ker}f\) を取れば， \(\varphi(x{\rm Ker}f)=f(x)\) であることからわかる．
\(\varphi\) が単射であることは核が単位元のみであることを示せばよい．つまり， \({\rm Ker}\varphi=\{e{\rm Ker}f\}\) を示せばよい． \(\varphi(x{\rm Ker}f)=e’\) とすると， \begin{eqnarray} \varphi(x{\rm Ker}f)=e’&\Longleftrightarrow& f(x)=e’\\ &\Longleftrightarrow& x\in {\rm Ker} f \Longleftrightarrow x{\rm Ker}f=e{\rm Ker}f \end{eqnarray} したがって， \({\rm Ker}\varphi=\{e{\rm Ker}f\}\) であるので， \(\varphi\) が単射である．
以上で \(\varphi\) は準同型かつ全単射であるので同型写像である．
(2) 証明
\(\varphi(xH):=f(x)\in G’\ (x\in G)\) と定義する．まず， \(\varphi\) がwell-definedであることを示す．すなわち \(\varphi\) が代表元によらず，
$$xH=yH\Longrightarrow \varphi(xH)=f(x)=f(y)=\varphi(yH)$$
となっていることを示す．
\(xH=yH\) より， \(x\in xH=yH\) となるので，ある \(h\in H\) があって， \(x=yh\Longrightarrow y^{-1}x=h\in H\) が成り立つので， $$f(y^{-1}x)=f(y)^{-1}f(x)\in f(H)\subset f({\rm Ker} f)=\{e’\}\ .$$ したがって \(f(y)^{-1}f(x)=e’\) より， \(f(x)=f(y)\) がわかり， \(\varphi\) はwell-defindeである．
次に \(\varphi\) が準同型であることを示せば， \(f=\varphi\circ p\) をみたすような準同型 \(\varphi\) が存在することが言えるが， \begin{eqnarray} \varphi((xH)(yH))&=&\varphi((xy)H)=f(xy)\\ &=&f(x)f(y)=\varphi(xH)\varphi(yH) \end{eqnarray} より， \(\varphi\) は準同型である．
最後に任意の \(x\in G\) について \(f(x)=\varphi(p(x))\) をみたすような準同型 \(\varphi\) がただ一つであることは， \(f(x)=\varphi(p(x))=\varphi(xH)\) なので, \(f\) が一つ与えられれば，当然， \(\varphi\) はただ一つとわかる．
\(xH=yH\) より， \(x\in xH=yH\) となるので，ある \(h\in H\) があって， \(x=yh\Longrightarrow y^{-1}x=h\in H\) が成り立つので， $$f(y^{-1}x)=f(y)^{-1}f(x)\in f(H)\subset f({\rm Ker} f)=\{e’\}\ .$$ したがって \(f(y)^{-1}f(x)=e’\) より， \(f(x)=f(y)\) がわかり， \(\varphi\) はwell-defindeである．
次に \(\varphi\) が準同型であることを示せば， \(f=\varphi\circ p\) をみたすような準同型 \(\varphi\) が存在することが言えるが， \begin{eqnarray} \varphi((xH)(yH))&=&\varphi((xy)H)=f(xy)\\ &=&f(x)f(y)=\varphi(xH)\varphi(yH) \end{eqnarray} より， \(\varphi\) は準同型である．
最後に任意の \(x\in G\) について \(f(x)=\varphi(p(x))\) をみたすような準同型 \(\varphi\) がただ一つであることは， \(f(x)=\varphi(p(x))=\varphi(xH)\) なので, \(f\) が一つ与えられれば，当然， \(\varphi\) はただ一つとわかる．
準同型定理の例
剰余群の例
(1) 群 \(G\) から \(G\) への恒等写像 \(id\ (id(x)=x)\) を考えると， \(id\) は準同型でその核は \({\rm Ker}\ id=\{e\}\) であるので，
$$G/\{e\} \simeq G$$
となる．
(2) 群 \(G\) から群 \(G’\) への零写像 \(O\ (O(x)=e’)\) を考えると， \(O\) は準同型でその核は \({\rm Ker}\ O=\{G\}\) であるので， $$G/\{G\} \simeq {\rm Im}O=\{e’\}$$ となる．
(3) 加法に関する群 \(\mathbb{Z}\) から \(\mathbb{Z}\) への写像 \(f(x)=nx\ (n\in \mathbb{N})\) は準同型で， \({\rm Ker}f=\{0\}\) となるので， $$ \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/\{0\} \simeq \mathbb{Z}_n=\{nx\ |\ x\in \mathbb{Z}\} \ .$$
(4) 加法に関する群 \(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}\) に対して， \(\mathbb{R}^2\) から \(\mathbb{R}\) への写像 \(f\) を \(f(x,y)=x+y\) と定義すると \(f\) は準同型で， \({\rm Ker}f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ |\ y=-x\}\) となるので， $$\mathbb{R}^2/{\rm Ker}f \simeq \mathbb{R}$$ となる．このことは直線 \(y=-x\) と平行な直線の切片の演算が \(\mathbb{R}\) の演算と同一のものであることを表す．
(5) 一般線形群 \(GL_n(\mathbb{R})\) から \(\mathbb{R}^{\times}\) への写像を行列式を求める写像 $$det:GL_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{\times}$$ は全射準同型であり， \({\rm Ker}\ det=SL_n(\mathbb{R})\) となるので， $$GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{\times}\ .$$
(2) 群 \(G\) から群 \(G’\) への零写像 \(O\ (O(x)=e’)\) を考えると， \(O\) は準同型でその核は \({\rm Ker}\ O=\{G\}\) であるので， $$G/\{G\} \simeq {\rm Im}O=\{e’\}$$ となる．
(3) 加法に関する群 \(\mathbb{Z}\) から \(\mathbb{Z}\) への写像 \(f(x)=nx\ (n\in \mathbb{N})\) は準同型で， \({\rm Ker}f=\{0\}\) となるので， $$ \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/\{0\} \simeq \mathbb{Z}_n=\{nx\ |\ x\in \mathbb{Z}\} \ .$$
(4) 加法に関する群 \(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}\) に対して， \(\mathbb{R}^2\) から \(\mathbb{R}\) への写像 \(f\) を \(f(x,y)=x+y\) と定義すると \(f\) は準同型で， \({\rm Ker}f=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\ |\ y=-x\}\) となるので， $$\mathbb{R}^2/{\rm Ker}f \simeq \mathbb{R}$$ となる．このことは直線 \(y=-x\) と平行な直線の切片の演算が \(\mathbb{R}\) の演算と同一のものであることを表す．
(5) 一般線形群 \(GL_n(\mathbb{R})\) から \(\mathbb{R}^{\times}\) への写像を行列式を求める写像 $$det:GL_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}^{\times}$$ は全射準同型であり， \({\rm Ker}\ det=SL_n(\mathbb{R})\) となるので， $$GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^{\times}\ .$$