このシリーズの内容

このシリーズは【複素解析入門】と称して全 5 回のシリーズで以下の内容を解説します．

1．複素数の基礎
2．複素関数
3．複素積分
4．ローラン級数と解析接続
5．留数定理

参考文献として以下の書籍を用いています．

・杉浦光夫「解析入門Ⅱ」
・アールフォルス「複素解析」
・R.V.チャーチル/J.W.ブラウン「複素解析入門」

　

複素数の定義

二乗して \(-1\) となる数を形式的に \(i\) と表し，この \(i\) を虚数単位とよびます．このとき， 2 つの実数 \(x,y\) に対して，複素数 \(z\) を

$$z=x+iy$$

と定義します． \(x\) を \(z\) の実部といい \({\rm Re}\ z=x\) と書き，\(y\) を \(z\) の虚部といい \({\rm Im}\ z=y\) と書きます．

次に 2 つの複素数 \(z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2\) に対して， 2 つの複素数が等しいことと，和と積を次のように定義します．

このように演算を定義すると複素数全体の集合 \(\mathbb{C}=\{x+iy\mid x,y\in \mathbb{R}\}\) は体となります．（体がわからない方は \(\mathbb{R}\) と同じように計算できると考えてください）

商については， \(z=x+iy\neq0\) のとき，

$$(x+iy)\left(\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{-y}{x^2+y^2}\right)=1$$

が成り立つので，

$$\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$$

となります．

　

複素平面

複素数 \(z=x+iy\) を \(xy\) 平面上の点 \((x,y)\) と同一視した \(xy\) 平面を複素平面またはガウス平面とよびます． \(x\) 軸を実軸， \(y\) 軸を虚軸といいます．

\(z=x+iy\) に対して \(\sqrt{x^2+y^2}\) を \(z\) の絶対値といい， \(|z|\) で表します．絶対値は複素平面上で原点からの距離であることは明らかです．また， \(z=x+iy\) に対して， \(\overline{z}=x-iy\) を \(z\) の共役複素数といい，

$$|z|^2=z\overline{z}$$

が成り立ちます．共役複素数が複素平面上で \(z\) と実軸対称であることも明らかです．

絶対値に関する次の不等式はよく用います．

また，このノルムにより \(\mathbb{C}\) は完備な距離空間となり，任意のコーシー点列は極限をもちます．（わからない方は飛ばしても結構です．）

　

極形式

複素平面上の点 \((x,y)\) の曲座標表示 \((r,\theta)\) を考えると，

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$$

なので， \(z\) は

$$z=r\ (\cos\theta+i\sin\theta)$$

と表され，この形を極形式といいます．この式はオイラーの公式

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

を用いて \(z=r\ e^{i\theta}\) とも書けますが，この公式は次回に導入します．

ここで， \(r=|z|\) であり \(\theta\) は偏角とよばれ， \(\theta=\arg z\) と表します．また，三角関数の周期性から

$$z=r\ \{\cos(\theta+2n\pi)+i\sin(\theta+2n\pi)\} \quad (n\in\mathbb{Z})$$

であるので，偏角は一意に定まりません．なので，特に \(\arg z\) で \(-\pi\lt \arg z\leq \pi\) であるものを \(\arg z\) の主値といい， \({\rm Arg}\ z\) と書くことにします．

次に複素数の極形式での積について考えと，

$$z_1=r_1\ (\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\quad z_2=r_2\ (\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$$

であるとき，

\begin{eqnarray} z_1z_2&=&r_1r_2\ \{\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2+i\ (\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\}\\ &=&r_1r_2\ \{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\\ \end{eqnarray}

となるので，複素数の積 \(z=z_1z_2\) に対して， \(|z|=|z_1||z_2|\) が成り立ち，偏角について \(\arg z=\arg z_1+\arg z_2\) が成り立つことがわかります．

また，複素数の極形式での商については，

\begin{eqnarray} \frac{z_1}{z_2}&=&\frac{r_1}{r_2}\frac{\cos\theta_1+i\sin\theta_1}{\cos\theta_2+i\sin\theta_2}\\ &=&\frac{r_1}{r_2}\{\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2+i\ (\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2)\}\\ &=&\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}\\ \end{eqnarray}

となるので，複素数の商 \(z=\frac{z_1}{z_2}\) に対して， \(|z|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\) が成り立ち，偏角について \(\arg z=\arg z_1-\arg z_2\) が成り立つことがわかります．

このことから特に次の公式が得られます．

この公式を利用して \(n\) 乗根を求めることができます．

　

複素平面上の位相

複素平面上の点 \(z_0\) を中心とした半径 \(\varepsilon\) の円の内部の点の集合

$$|z-z_0|<\varepsilon$$

を \(z_0\) の \(\varepsilon\) 近傍といいます．

\(\mathbb{C}\) の部分集合 \(S\) に対して次のことを定義します．

またこのことから次が定義できます．