この記事は位相空間については既知としています．位相空間については「こちら」をご覧ください．
距離空間での連続写像の定義
まずは，距離空間での連続写像の定義について確認します．距離空間や定義に使われる記号については「こちら」をご覧ください．
距離空間での連続写像の定義
\(X,Y\) が距離空間であって，次が成り立つとき，写像 \(f:X\longrightarrow Y\) を連続写像という．
$$\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0\ \ s.t.\ \ f(B^X(a;\delta))\subset B^Y(f(a);\varepsilon))$$
位相空間での連続写像の定義
位相空間での連続写像の定義
2 つの位相空間 \((S,\mathcal{O}),\ (S’,\mathcal{O}’)\) があるとき，写像 \(f:S\longrightarrow S’\) が連続であるとは，
$$O’\in \mathcal{O}’ \Longrightarrow f^{-1}(O’)\in \mathcal{O}$$
となることである．
位相空間での連続写像の定義の妥当性
位相空間の連続写像の定義の妥当性は，先に定義した距離空間での連続写像と，位相空間の連続の定義を距離空間に制限したときの定義が，同値であることを示すことで確認できます．
つまり，次の命題を確かめます．
命題
距離空間 \(X,Y\) とその間の写像 \(f:X\longrightarrow Y\) があるとき，
$$\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0\ \ s.t.\ \ f(B^X(a;\delta))\subset B^Y(f(a);\varepsilon)) \tag{*}$$
であることと， \(X,Y\) の開集合系を \(\mathcal{O}_X,\ \mathcal{O}_Y\) としたとき，
$$O_y\in \mathcal{O}_Y \Longrightarrow f^{-1}(O_y)\in \mathcal{O}_X \tag{#}$$
であることは同値である．
証明を行う前に距離空間の開集合の定義を確認しておきます．
距離空間での開集合の定義
距離空間 \(X\) の部分集合 \(A\) が開集合であるとは，
$$\forall a\in A,\ \exists \varepsilon>0,\ B^X(a;\varepsilon)\subset A$$
であることである．
では，証明を行います．
証明
距離空間 \(X,Y\) とその間の写像 \(f:X\longrightarrow Y\) があるとする．
\((*)\) を仮定して \((\#)\) を示す．
\(Y\) の任意の開集合 \(O_y\ (\neq\emptyset)\) をとり， \(f^{-1}(O_y)\) は空でないとする．（空なら明らかに \((\#)\) を満たす） \(f^{-1}(O_y)\) の任意の元を \(x\) とおく．
\(f(x)\in O_y\) であるので， \(O_y\) が開集合より，ある \(\varepsilon >0\) があって， $$B^Y(f(x),\varepsilon)\subset O_y\ .$$ \((*)\) より，ある \(\delta >0\) があって， \(f(B^Y(x,\delta))\subset B^Y(f(x),\varepsilon)\)なので， $$f(B^Y(x,\delta))\subset O_y\ .$$ よって， $$B^Y(x,\delta)\subset f^{-1}(f(B^Y(x,\delta)))\subset f^{-1}(O_y)\ .$$ これより， \(f^{-1}(O_y)\) が開集合であることがわかる.
\(O_y=\emptyset\in \mathcal{O}_Y\) のときは， \(f^{-1}(O_y)=\emptyset\in \mathcal{O}_X\) なので， \((\#)\) が示せた．
\((\#)\) を仮定して \((*)\) を示す．
\(f(X)\) の任意の元 \(f(x)\) と任意の \(\varepsilon >0\) に対して， \(B^Y(f(x);\varepsilon)\) を考える． \(B^Y(f(x);\varepsilon)\in \mathcal{O}_Y\) なので， \((\#)\) より， $$f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\in \mathcal{O}_X$$ よって， \(f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\) は開集合で， \(x\) を含むので，ある \(\delta >0\) があって， $$B^X(x;\delta) \subset f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\ .$$ したがって， $$f(B^X(x;\delta)) \subset f(f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))) \subset B^Y(f(x);\varepsilon)) \ .$$ これで， \((*)\) が示せた．
\((*)\) を仮定して \((\#)\) を示す．
\(Y\) の任意の開集合 \(O_y\ (\neq\emptyset)\) をとり， \(f^{-1}(O_y)\) は空でないとする．（空なら明らかに \((\#)\) を満たす） \(f^{-1}(O_y)\) の任意の元を \(x\) とおく．
\(f(x)\in O_y\) であるので， \(O_y\) が開集合より，ある \(\varepsilon >0\) があって， $$B^Y(f(x),\varepsilon)\subset O_y\ .$$ \((*)\) より，ある \(\delta >0\) があって， \(f(B^Y(x,\delta))\subset B^Y(f(x),\varepsilon)\)なので， $$f(B^Y(x,\delta))\subset O_y\ .$$ よって， $$B^Y(x,\delta)\subset f^{-1}(f(B^Y(x,\delta)))\subset f^{-1}(O_y)\ .$$ これより， \(f^{-1}(O_y)\) が開集合であることがわかる.
\(O_y=\emptyset\in \mathcal{O}_Y\) のときは， \(f^{-1}(O_y)=\emptyset\in \mathcal{O}_X\) なので， \((\#)\) が示せた．
\((\#)\) を仮定して \((*)\) を示す．
\(f(X)\) の任意の元 \(f(x)\) と任意の \(\varepsilon >0\) に対して， \(B^Y(f(x);\varepsilon)\) を考える． \(B^Y(f(x);\varepsilon)\in \mathcal{O}_Y\) なので， \((\#)\) より， $$f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\in \mathcal{O}_X$$ よって， \(f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\) は開集合で， \(x\) を含むので，ある \(\delta >0\) があって， $$B^X(x;\delta) \subset f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\ .$$ したがって， $$f(B^X(x;\delta)) \subset f(f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))) \subset B^Y(f(x);\varepsilon)) \ .$$ これで， \((*)\) が示せた．