0. 導入
今回から 5 回に分けて「ルベーグ (Lebesgue) 積分」を解説します．以下のように分けて解説します．
1． \(\sigma\) 加法族と測度
2．ボレル集合族と可測関数
3．ルベーグ積分
4．ルベーグの優収束定理
5．ルベーグ測度
参考文献として以下を使用します．
・吉田伸生「ルベーグ積分入門〜使うための論理と演習〜」
・伊藤清三「ルベーグ積分入門」
1. \(\sigma\) 加法族
\(\sigma\) 加法族の定義
集合 \(S\) の部分集合族 \(\mathscr{A}\) が以下の 3 条件を満たすとき， \(\mathscr{A}\) を \(\sigma\) 加法族という．(ここで \(A^c\) は \(A\) の補集合を表す)
$$ \emptyset \in \mathscr{A} \tag{1}$$
$$ A\in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c\in \mathscr{A} \tag{2}$$
$$ \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A} \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A} \tag{3}$$
集合 \(S\) と \(\sigma\) 加法族 \(\mathscr{A}\subset 2^S\) の組み \((S,\mathscr{A})\) を可測空間といい， \((S,\mathscr{A})\) が可測空間のとき \(A\in \mathscr{A}\) ならば \(A\) は可測であるといいます．
\((S,\mathscr{A})\) が可測空間のとき \(S \in \mathscr{A}\) であることと，\(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A} \Longrightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A}\) は容易にわかります．
\(S,T\) を集合，\(f:S\rightarrow T\) を関数，\(\mathscr{A}\subset 2^S\) ，\(\mathscr{B}\subset 2^T\) とする．ここで，\(f(\mathscr{A})\subset 2^T\) ，\(f^{–1}(\mathscr{B})\subset 2^S\) を次で定義します．
$$f(\mathscr{A}) := \{B\subset T \mid f^{-1}(B)\in \mathscr{A}\}$$
$$f^{-1}(\mathscr{B}) := \{f^{-1}(B)\subset S \mid B\in \mathscr{B}\}$$
\(f(\mathscr{A})\) を \(\mathscr{A}\) の \(f\) による押し出し，\(f^{-1}(\mathscr{B})\) を \(\mathscr{B}\) の \(f\) による引き戻しといいます．押し出し・引き戻しに関して次が成り立ちます．
命題 1.1
(1) \(\mathscr{A}\) が \(\sigma\) 加法族なら \(f(\mathscr{A})\) も \(\sigma\) 加法族である．
(2) \(\mathscr{B}\) が \(\sigma\) 加法族なら \(f^{-1}(\mathscr{B})\) も \(\sigma\) 加法族である．
証明
(1) ・ \(\emptyset_T\in f(\mathscr{A})\) を示す．
\(\emptyset_S\in \mathscr{A}\) なので \(f^{-1}(\emptyset_T) = \emptyset_S \in \mathscr{A}\) となる．したがって， \(\emptyset_T\in f(\mathscr{A})\) ．
・ \(B\in f(\mathscr{A}) \Longrightarrow B^c\in f(\mathscr{A})\) を示す．
\(B\in f(\mathscr{A})\) とすると，
$$f^{-1}(B^c) = (f^{-1}(B))^c \in \mathscr{A}$$
したがって， \(B^c\in f(\mathscr{A})\) である．
・ \(\{B_n\}_{n=1}^{\infty}\subset f(\mathscr{A}) \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in f(\mathscr{A})\) を示す．
\(\{B_n\}_{n=1}^{\infty}\subset f(\mathscr{A})\) とすると， \(\{f^{-1}(B_n)\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A}\) であるので，
$$f^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}(B_n) \in \mathscr{A}$$
したがって， \(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in f(\mathscr{A})\) である．
証明
(2) ・ \(\emptyset_S\in f^{-1}(\mathscr{B})\) を示す．
\(\emptyset_T\in \mathscr{B}\) なので \(f^{-1}(\emptyset_T) = \emptyset_S \in f^{-1}(\mathscr{B})\) となる．
・ \(A\in f^{-1}(\mathscr{B}) \Longrightarrow A^c\in f^{-1}(\mathscr{B})\) を示す．
\(A\in f^{-1}(\mathscr{B})\) とすると，ある \(B\in \mathscr{B}\) があって， \(A=f^{-1}(B)\) となる．また，
$$A^c = \left(f^{-1}(B) \right)^c = f^{-1}(B^c)$$
より， \(B^c\in \mathscr{B}\) であるので， \(A^c\in f^{-1}(\mathscr{B})\) が成り立つ．
・ \(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset f^{-1}(\mathscr{B}) \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in f^{-1}(\mathscr{B})\) を示す．
\(\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset f^{-1}(\mathscr{B})\) とすると，ある \(\{B_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{B}\) があって， \(f^{-1}(B_n)=A_n\) となる．また，
$$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}(B_n) = f^{-1}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right)$$
より， \(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \mathscr{B}\) であるので， \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in f^{-1}(\mathscr{B})\) が成り立つ．
命題 1.2
\(\mathscr{G}\subset 2^S\) に対し， \(\sigma[\mathscr{G}]\) を \(\mathscr{G}\) を含む \(\sigma\) 加法族全体の共通部分．つまり，
$$\sigma[\mathscr{G}] := \bigcap_{\mathscr{G}\subset\mathscr{A}\ :\ \mbox{加法族}} \mathscr{A} $$
と定める． \(\sigma[\mathscr{G}]\) は \(\mathscr{G}\) を含む最小の \(\sigma\) 加法族である．
この命題は簡単なので証明は省略します．（注意：特に集合 \(S\) に対して \(2^S\) は自明な \(\sigma\) 加法族であり， \(\mathscr{G}\) を含むので \(\sigma[\mathscr{G}]\) は存在する）
\(\sigma[\mathscr{G}]\) を \(\mathscr{G}\) が生成する \(\sigma\) 加法族といいます．
命題 1.3
\(S\subset T\) ， \(\mathscr{A}\subset2^S\) ， \(\mathscr{B}\subset2^T\) とする．
(1) \(\mathscr{B}\) が \(T\) 上の \(\sigma\) 加法族ならば \(\mathscr{B}|_S:=\{B\cap S\mid B\in \mathscr{B}\}\) は \(S\) 上の \(\sigma\) 加法族である．（ \(\mathscr{B}|_S\) を \(\mathscr{B}\) の \(S\) への制限という）
(2) \(\mathscr{A}\) が \(S\) 上の \(\sigma\) 加法族なら \(\{B\subset T\mid B\cap S\in \mathscr{A}\}\) は \(T\) 上の \(\sigma\) 加法族である．
証明
包含写像 \(p:S\rightarrow T\ ;x\mapsto x\) を考えると， \(B\subset T\) に対して \(p^{-1}(B)=B\cap S\) となる．したがって，
$$p^{-1}(\mathscr{B})=\mathscr{B}|_S$$
$$p\ (\mathscr{A})=\{B\subset T\mid B\cap S\in \mathscr{A}\}$$
が成り立つので命題 1.1 より，これらは \(\sigma\) 加法族である．
命題 1.4
\(S\subset T\) ， \(\mathscr{G}\subset2^T\) とする．このとき， \(\sigma[\mathscr{G}]_T|_S=\sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) ．
（ここで \(\sigma[\mathscr{G}]_T\) は \(T\) 上の \(\sigma\) 加法族であることを表す）
証明
・ \(\sigma[\mathscr{G}]_T|_S \supset \sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) を示す．
\begin{eqnarray}
\sigma[\mathscr{G}]_T\supset \mathscr{G}
&\Longrightarrow& \sigma[\mathscr{G}]_T|_S \supset \mathscr{G}|_S \\
&\overset{\text{(#)}}{\Longrightarrow}& \sigma[\mathscr{G}]_T|_S \supset \sigma[\mathscr{G}|_S]_S
\end{eqnarray}
ここで \((\#)\) は \(\sigma[\mathscr{G}]_T|_S\) が \(S\) 上の \(\sigma\) 加法族であり， \(\sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) が \(\mathscr{G}|_S\) を含む最小の \(\sigma\) 加法族であることからわかる．
・ \(\sigma[\mathscr{G}]_T|_S \subset \sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) を示す．
この包含関係は「任意の \(B\in\sigma[\mathscr{G}]_T\) に対して， \(B\cap S \in \sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) が成り立つ」ことと同値である．したがって，
$$\sigma[\mathscr{G}]_T\subset \mathscr{B} := \{B\in 2^T\mid B\cap S\in \sigma[\mathscr{G}|_S]_S\}$$
を示せば良い．ここで， \(\sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) は \(S\) 上の \(\sigma\) 加法族であるので，命題 1.3 より \(\mathscr{B}\) は \(\sigma\) 加法族である．また， \(B\in\mathscr{G}\) であるとき， \(B\cap S\in \mathscr{G}|_S\subset \sigma[\mathscr{G}|_S]_S\) より \(\mathscr{G}\subset \mathscr{B}\) が成り立つ．したがって， \((\#)\) と同様に \(\sigma[\mathscr{G}]_T\subset\mathscr{B}\) である．
2. 測度
測度の定義は測度 \(\mu\) が集合 \(A\in \mathbb{R}^2\) に対して面積 \(\mu(A)\) を与える関数の一般化だと考えれば，とても自然な定義となります．実際，\(\mathbb{R}^2\) 上では集合 \(A\in\mathbb{R}^2\) の面積を与える関数 \(\mu\) が測度となります．（後に解説するつもりです）
測度の定義
\(S\) を集合とし \(\mathscr{A}\subset 2^S\) とする．このとき，写像 \(\mu:\mathscr{A}\to [0,\infty]\) が以下の 2 条件を満たすとき \((\mathscr{A},\mu)\) を測度という．また \(\mathscr{A}\) が \(\sigma\) 加法族のとき \((S,\mathscr{A},\mu)\) を測度空間という．
（非負性）任意の \(A\in \mathscr{A}\) に対して \(0 = \mu(\emptyset) \leq \mu(A) \leq \infty\) が成り立つ．
（可算加法性） \(\{A_n\}_{n\geq 1}\subset \mathscr{A}\) が \(A_i\cap A_j = \emptyset\ (i\neq j)\) を満たし， \(\bigcup_{n\geq 1} A_n \in \mathscr{A}\) のとき，
$$\mu \left( \bigcup_{n\geq 1} A_n \right) = \sum_{n\geq 1} \mu(A_n) $$
が成り立つ．
※以降では， \(\{A_n\}_{n\geq 1}\) に対して \(A_i\cap A_j=\emptyset\ \ (i\neq j)\) が成り立つときは \(A_1\cup A_2\) を \(A_1+A_2\) と表し， \(\bigcup A_n\) を \(\sum A_n\) と表すことにします．
次に示す条件を有限加法性といい， \(\mu\) が測度のとき明らかに \(\mu\) は有限加法性を持ちます．（ \(A_k=\emptyset,\ (k\gt n)\) とおけば良い）
（有限加法性） \(\{A_n\}_{n=1}^m \subset \mathscr{A}\) かつ \(\bigcup_{n=1}^m A_n \in \mathscr{A}\) のとき，
$$\mu \left( \sum_{n=1}^m A_n \right) = \sum_{n=1}^m \mu(A_n) $$
が成り立つ．
命題 1.4
\((S,\mathscr{A},\mu)\) が測度空間ならば以下が成り立つ．
（可算劣加法性） \(\{A_n\}_{n\geq 1}\subset \mathscr{A}\) に対して， \(\bigcup_{n\geq 1} A_n = A\) とおくと，
$$\mu(A) \leq \sum_{n\geq 1} \mu(A_n) \ .$$
（有限加法性と同様に有限劣加法性を定義できて， \((S,\mathscr{A},\mu)\) が測度空間ならばこの性質も成り立つ）
（単調性） \(A_1,A_2\in \mathscr{A}\) かつ \(A_1\subset A_2\) ならば \(\mu(A_1)\leq \mu(A_2)\) ．
（増大列連続性） \(\{A_n\}_{n\geq 1}\subset \mathscr{A}\) ， \(A_n\nearrow A\) ならば \(\lim\mu(A_n)=\mu(A)\) ．
（減少列連続性） \(\{A_n\}_{n\geq 1}\subset \mathscr{A}\) ， \(A_n\searrow A\) ，また，ある自然数 \(p\geq 1\) があって \(\mu(A_p)\lt \infty\) ならば \(\lim\mu(A_n)=\mu(A)\) ．
※ここで \(A_n\nearrow A\) とは \(A_n\subset A_{n+1}\) かつ \(A=\bigcup_{n\geq 1} A_n\) となることであり， \(A_n\searrow A\) とは \(A_n\supset A_{n+1}\) かつ \(A=\bigcap_{n\geq 1} A_n\) となることである．
証明
（単調性）
\(A_1,A_2\in \mathscr{A}\) ， \(A_1\subset A_2\) ならば \(A_2 = A_1 + A_2\setminus A_1\) と書けるので，有限加法性と非負性から
$$\mu(A_2) = \mu(A_1 + A_2\setminus A_1) = \mu(A_1) + \mu(A_2\setminus A_1) \geq \mu(A_1)$$
（増大列連続性）
仮定から \(A = A_1 + \sum_{k\geq 1} (A_{k+1}\setminus A_k) \) ， \(A_n = A_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (A_{k+1}\setminus A_k)\) となる．したがって，
\begin{eqnarray}
\mu(A) &=& \mu\left(A_1 + \sum_{k\geq 1} (A_{k+1}\setminus A_k)\right) \\
&\overset{\text{（可算加法性）}}{=}& \mu(A_1) + \sum_{k\geq 1} \mu(A_{k+1}\setminus A_k) \\
&=& \lim_n \left(\mu(A_1) + \sum_{k=1}^{n-1} \mu(A_{k+1}\setminus A_k)\right) \\
&\overset{\text{（有限加法性）}}{=}& \lim_n \mu(A_n)
\end{eqnarray}
（減少列連続性）
仮定から \(A_n = A + \sum_{k\geq n} (A_{k}\setminus A_{k+1}) \) となる．したがって，
$$\mu(A_n) \overset{\text{（可算加法性）}}{=} \mu(A) + \sum_{k\geq n} \mu(A_{k}\setminus A_{k+1})$$
が成り立つ．特に \(n=p\) とすると， \(\infty\gt\mu(A_p)\geq\sum_{k\geq p} \mu(A_{k}\setminus A_{k+1})\) であるので，級数の収束に関する定理から
$$\lim_n \sum_{k\geq n} \mu(A_{k}\setminus A_{k+1}) = 0$$
となる．したがって， \(\lim \mu(A_n) = \mu(A)\) ．
（可算劣加法性）
まず，有限劣加法性を示す．
\(A,B\in \mathscr{A}\) のとき，\(A\cup B = A + B\setminus A \in \mathscr{A}\) であるので，単調性より，
\begin{eqnarray}
\mu(A\cup B) &=& \mu(A + B\setminus A) \\
&\overset{\text{（有限加法性）}}{=}& \mu(A) + \mu(B\setminus A) \\
&\overset{\text{（単調性）}}{\leq}& \mu(A) + \mu(B)
\end{eqnarray}
次に可算劣加法性を示す．
仮定から \(B_m = \bigcup_{n=1}^m A_n\) と定めると， \(B_m \nearrow A\) かつ \(\mathscr{A}\) が \(\sigma\) 加法族だから， \(B_m\in \mathscr{A}\) ．したがって，
\begin{eqnarray}
\mu(A) &\overset{\text{（増大列連続性）}}{=}& \lim_m \mu(B_m) \\
&\overset{\text{（有限劣加法性）}}{\leq}& \lim_m \sum_{n=1}^m\mu(A_n) = \sum_{n\geq 1}\mu(A_n)
\end{eqnarray}
3. 零集合
零集合の定義
\((S,\mathscr{A},\mu)\) を測度空間とする．このとき \(N\subset S\) が \(\mu\) 零集合であるとは，
$$N\subset A\ ,\ \ \mu(A)=0$$
を満たすような，ある \(A\in \mathscr{A}\) が存在することである．
また，測度空間 \((S,\mathscr{A},\mu)\) の \(\mu\) 零集合全体を \(\mathscr{N}^{\mu}\) と書く．
a.e. の定義
\((S,\mathscr{A},\mu)\) を測度空間とする． \(A\in \mathscr{A}\) の点 \(x\) に関する命題 \(P(x)\) に対して，
$$A_1=\{x\in A \mid P(x)\ \text{が定義され，かつ真}\}$$
\(A\setminus A_1\) が \(\mu\) 零集合ならば \(P(x)\) は \(\mu\) について「 \(A\) 上ほとんど至る所で成立する」という．このことを略して，「 \(A\) 上 \(\mu\) – a.e. (almost everywhere) 」と表す．
今回は以上です．お疲れ様でした．