\[\|x_n+y_n -(x+y)\| \leq \|x_n-x\|+\|y_n-y\| \to 0\] \begin{eqnarray} &&\|a_nx_n-ax\| \\ &&\quad = \|(a_n-a)(x_n-x) + (a_n-a)x + a(x_n-x)\| \\ &&\quad \leq |a_n-a|\|x_n-x\| + |a_n-a|\|x\| + |a|\|x_n-x\|\to 0 \end{eqnarray}

任意の \(x,y\in X\) に対して \[ |\|x_n\|-\|x\|| \leq \|x_n-x\| \to 0 \]

\(\mathbb{R}^n\) のコーシー列 \(\{(x_1^{(k)},\cdots ,x_n^{(k)})\}_{n=1}^{\infty}\) に対して， \[ |x_i^{(k)}- x_i^{(l)}| \leq \| (x_1^{(k)},\cdots ,x_n^{(k)})- (x_1^{(l)},\cdots ,x_n^{(l)}) \| \] となるから各 \(i\) に対して \(\{x_i^{(k)}\}_{n=1}^{\infty}\) はコーシー列である．\(\mathbb{R}\) は完備（実数の連続性より）だから \(x_i^{(k)}\to x_j\ \ (k\to \infty)\) となる実数 \(x_j\) が存在し， \[ \|(x_1^{(k)},\cdots ,x_n^{(k)})- (x_1,\cdots ,x_n)\|^2 = \sum_{i=1}^n(x_j^{(k)}-x_i)^2\] であるので \(k\to \infty\) とすると，右辺 \(\to 0\) となりコーシー列は極限を持つ．したがって \(\mathbb{R}^n\) はバナッハ空間である．

ノルムとなることは容易にわかる．
バナッハ空間となること：
\(f_n\in C_B(\Omega)\) をコーシー列とする．任意の \(x\in \Omega\) に対して， \[|f_n(x)-f_m(x)|\leq \|f_n-f_m\|\] であるので，\(x\) を固定すると \(f_n(x)\) は \(K\) 上のコーシー列となる．\(K\) は完備であるので，\(f_n(x)\to y\) となる \(y\in K\) が各 \(x\in \Omega\) に対して存在する．したがって， \[f(x) = y\] となる関数 \(f\) が考えられる．この \(f\) が連続関数であることを示す．任意の実数 \(\varepsilon >0\) をとる．この \(\varepsilon\) に対して十分大きな \(n,m\) で \[|f_n(x)-f_m(x)|\leq \|f_n-f_m\|<\varepsilon \quad(\forall x\in \Omega)\] となる．したがって，\(m\to\infty\) とすると， \[|f_n(x)-f(x)|\leq \varepsilon \quad(\forall x\in \Omega)\] すなわち \(f_n\) は一様収束する．よって，与えられた \(\varepsilon\) に対して任意の十分大きな \(n\) で \[|f(x’)-f_n(x’)|\ ,\ \ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \quad(\forall x,x’\in \Omega)\] となる．また，このような \(n\) を固定すれば \(f_n\) は連続なので，ある実数 \(\delta>0\) があって，\(\|x-x’\|<\delta\) ならば，\(|f_n(x’)-f_n(x)|<\varepsilon\) となる．したがって， \begin{eqnarray} &&|f(x’)-f(x)|\\ &&\quad\leq |f(x’)-f_n(x’)|+|f_n(x’)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|\\ &&\quad < 3\varepsilon \end{eqnarray} が得られる．これで連続性が示された．有界性は \(\Omega\) がコンパクトであることからわかる．よって，\(f\in C_B(\Omega)\) である．また， \[|f_n(x)-f(x)|\leq \varepsilon \quad(\forall x\in \Omega)\] より， \[\|f_n-f\| =\sup_{x\in \Omega}|f_n(x)-f(x)| \leq \varepsilon\] となり，\(f_n\to f\) であるので \(C_B(\Omega)\) はバナッハ空間である．

\(\|f\|_{L^p}=0\) であるとき， \begin{eqnarray} \|f\|_{L^p}=0 &\Longrightarrow & f=0\ (\mu-a.e.) \\ &\Longrightarrow & fg=0\ (\mu-a.e.) &\Longrightarrow & \int_{\Omega} fg\ d\mu =0 \end{eqnarray} より，このとき不等式は成り立つ．\(\|g\|_{L^q}=0\) でも同様である．どちらでもないとする．
ところで \(b\geq 0\) として \(x\geq 0\) に対して， \[\varphi(x) = \frac{x^p}{p}+\frac{b^q}{q}-xb\] と定めると，\(\varphi\) の微分を確かめればわかるように，\(\varphi\) は \(x=b^{\frac{1}{p-1}}\) で最小値 \(0\) をとる．したがって，\(a,b\geq 0\) に対して， \[ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\] が成り立つ．この結果を用いると， \begin{eqnarray} \frac{1}{\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q}}\left| \int_{\Omega} fg\ d\mu \right| &\leq & \int_{\Omega} \frac{|f|}{\|f\|_{L^p}}\frac{|g|}{\|g\|_{L^q}}\ d\mu \\ &\leq & \frac{1}{p\|f\|_{L^p}^p} \int_{\Omega} |f|^p\ d\mu + \frac{1}{q\|f\|_{L^q}^q} \int_{\Omega} |g|^q\ d\mu \\ &\leq & \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \end{eqnarray} したがって，不等式が示された．

\(f(x)=x^p\ (x\geq 0)\) は下に凸な関数であるので， \(a,b\geq 0\) に対して \[\left( \frac{a+b}{2}\right)^p \leq \frac{a^p+b^p}{2}\] が成り立つ．したがって， \[(a+b)^p \leq 2^{p-1}(a^p+b^p)\] である．このことを用いて， \[|f+g|^p\leq (|f|+|g|)^p\leq 2^{p-1}(|f|^p+|g|^p)\] がわかる．したがって，\(f,g\in L^p(\Omega)\) ならば \(f+g\in L^p(\Omega)\) である．
主張の不等式が成り立つことを示す． \(p=1\) ならば明らか．\(p>1\) と仮定する．
ヘルダーの不等式を用いて， \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega} |f+g|^p\ d\mu \\ &&\quad \leq \int_{\Omega} |f+g|^{p-1}|f|\ d\mu + \int_{\Omega} |f+g|^{p-1}|g|\ d\mu \\ &&\quad \leq \left( \int_{\Omega} |f+g|^{(p-1)q}\ d\mu \right)^{1/q} ( \|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p} ) \\ &&\quad = \left( \int_{\Omega} |f+g|^{p}\ d\mu \right)^{1/q} ( \|f\|_{L^p}+\|g\|_{L^p} ) \end{eqnarray} が得られる．ここで，\(|f+g|^{p-1}\in L^q(\Omega)\) であることは上の変形の4行目によりわかる． \[k:=\int_{\Omega} |f+g|^{p}\ d\mu \] とおく．\(k\neq 0\) であるとき，両辺を \(k^{1/q}\) で割れば欲しかった不等式は得られる． \(k=0\) のとき主張の不等式が正しいことは明らかである．
以上で全ての主張は示された．

ミンコフスキの不等式とルベーグ積分の知識からノルム空間となることは容易にわかる．

完備性のみ確かめる． \(f_n\in L^p(\Omega)\) をコーシー列とする．このとき， \[\|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_{L^p}<\frac{1}{2^k} \quad(k=1,2,\cdots)\] となるような部分列 \(\{f_{n_k}\}\ (n_{k+1}\geq n_k)\) が取れる．実際， \[\|f_{m}-f_{n_1}\|_{L^p}<\frac{1}{2}\quad (\forall m>n_1)\] \[\|f_{m}-f_{n_2}\|_{L^p}<\frac{1}{2^2}\quad (\forall m>n_2>n_1)\] を満たすような \(n_1,n_2\) を取ることができて，これを繰り返せばよい．この \(\{f_{n_k}\}\) を簡単に \(\{f_{k}\}\) と表すことにする．定め方から， \[\sum_{k=1}^{\infty}\|f_{k+1}-f_k\|_{L^p} < \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k} = 1\]
次に \(g_n\) を次のように定める． \begin{equation} \left\{ \, \begin{aligned} g_1 & = |f_1| \\ g_n & = |f_1| + \sum_{k=1}^{n-1}|f_{k+1}-f_k| \end{aligned} \right. \end{equation} このとき，明らかに \(0\leq g_n\leq g_{n+1}\) が成り立つ．ここで \(g_n\) は単調増加するので \(\infty\) を含めて収束する．また，任意の \(n\) で \begin{eqnarray} \int_{\Omega}(g_n)^p\ d\mu &=& (\|g_n\|_{L^p})^p \\ &\leq & \left( \|f_1\|_{L^p} + \sum_{k=1}^{n-1}\|f_{k+1}-f_k\|_{L^p} \right)^p \\ &\leq & \left( \|f_1\|_{L^p} + 1 \right)^p \end{eqnarray} であるので，\(\lim_{n\to\infty} g_n = g\) とおくと，ファトゥ ( Fatou ) の補題より \[\int_{\Omega}g^p\ d\mu \leq \lim_{n\to\infty}\int_{\Omega}(g_n)^p\ d\mu \leq \left( \|f_1\|_{L_p} + 1 \right)^p < \infty\] したがって，\(\|g\|_{L^p}<\infty\) ．すなわち \(g\in L^p(\Omega)\) である．

上で定めた \(g\) を用いて \(\{f_k\}\) が収束することを示す． \[|f_n -f_m| \leq \sum_{k=m}^{n-1}|f_{k+1}-f_k| = g_n-g_m\] より， \(\{g_n\}\) は \(g<\infty\ (\mu-a.e.)\) に収束するので \(\mathbb{R}\) 上のコーシー列 \((\mu-a.e.)\) である．よって，\(f_n\) も \(\mathbb{C}\) 上のコーシー列 \((\mu-a.e.)\) である．したがって， \[m,n\to \infty \Rightarrow |f_n -f_m|\to 0 \quad (\mu-a.e.)\] よって，\(\mathbb{C}\) の完備性より，ほとんど至る所の \(x\in \Omega\) で有限な \(f^*\) があって， \[\lim_{n\to\infty} f_n = f^* \quad (\mu-a.e.)\] となる． この \(f^*\) は \(L^p(\Omega)\) に含まれている．実際， \[|f_n -f_1| \leq \sum_{k=1}^{n-1}|f_{k+1}-f_k| = g_n-g_1\] より，三角不等式を用いて， \[|f_n| \leq g_n\] がわかり，\(n\to\infty\) とすると， \[|f^*| \leq g \quad (\mu-a.e)\] となるから \(f^*\in L^p(\Omega)\) である．

ミンコフスキの不等式の証明の中でも用いた不等式を用いて， \begin{eqnarray} |f_k-f^*|^p &\leq & (|f_k|+|f^*|)^p \leq (g_n+|f^*|)^p \\ &\leq & (g+|f^*|)^p \leq 2^{p-1}g^p+2^{p-1}|f^*|^p \end{eqnarray} がわかる．ゆえに，\(|f_k-f^*|^p\) は \(k\) に依らない可測関数に上から抑えられている．よって，\(|f_k-f^*|\to 0\ (\mu-a.e.)\) であることと，ルベーグ ( Lebesgue ) の優収束定理を用いて， \[\lim_{k\to\infty}\|f_k-f^*\|_{L^p} = 0\ .\]
最後に \(\{f_n\}\)（ \(\{f_k\}\) を作る前に取ってきたコーシー列）が \(f^*\) に収束することを確認すれば良い．この点列はコーシー列なので，任意の \(\varepsilon>0\) に対して十分大きな \(n\) があって， \[\|f_n-f_{n_k}\|_{L^p}<\varepsilon\quad(n_k>n)\] となる．\(n_k\to\infty\) とすれば， \[\|f_n-f^*\|_{L^p}\leq \varepsilon\] となり，これで完備性が示された．

ミンコフスキの不等式の証明中に確認した初等的な不等式 \[|x+y|^p\leq 2^{p-1}(|x|^p+|y|^p)\] を用いれば， \[\sum_{n=1}^{\infty}|x_n+y_n|^p \leq 2^{p-1}\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p + 2^{p-1}\sum_{n=1}^{\infty}|y_n|^p <\infty\] がわかり，このことから \(l^p\) は \(\mathbb{C}\) ベクトル空間である．\(\|\cdot\|_{l^p}\) がノルムであることは，ヘルダー不等式とミンコフスキ不等式が積分と同様に和についても成り立つことからわかる．
完備であることを示す．
\(\{x^{(n)}\}\) を \(l^p\) のコーシー列とする．任意の \(\varepsilon >0\) に対して \(N\) を適当にとれば， \[n,m>N \Longrightarrow \|x^{(n)}-x^{(m)}\|_{l^p}<\varepsilon\] となる．任意の \(j,k\) に対して， \[|x_j^{(n)}-x_j^{(m)}|\leq \left( \sum_{j=1}^k |x_j^{(n)}-x_j^{(m)}|^p \right)^{1/p} \leq \|x^{(n)}-x^{(m)}\|<\varepsilon\] であるから，各 \(j\) に対して \(\{x_j^{(n)}\}_n\) は \(\mathbb{C}\) のコーシー列であり，\(\mathbb{C}\) の完備性から \[x_j^{(n)}\to x_j \quad (n\to\infty)\] が存在する．任意の \(k\) と \(n>N\) で， \[\left( \sum_{j=1}^k |x_j^{(n)}-x_j|^p \right)^{1/p} \leq \varepsilon\] かつ， \[\left( \sum_{j=1}^k |x_j|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{j=1}^k |x_j^{(n)}-x_j|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{j=1}^k |x_j^{(n)}|^p \right)^{1/p}\] となるから，\(m\to\infty\) とすると右辺は有限で \(\sum_{j=1}^{\infty} |x_j|^p< \infty\) である．よって，\(\{x_j\}_{j\geq 1}=:x\in l^p\) である．また， \[\left( \sum_{j=1}^{\infty} |x_j^{(n)}-x_j|^p \right)^{1/p} \leq \varepsilon\] より，\(\varepsilon\) は任意なので \(\|x^{(n)}-x\|_{l^p}\to 0\) であり，\(l^p\) は完備である．

\(X\) のコーシー列 \(\{x_n\}\) 全体の集合 \(W\) に対して同値関係を以下のように定める． \[\{x_n\}\sim \{x_n’\}\Longleftrightarrow \|x_n-x_n’\|\to 0\ \ (n\to \infty)\] この同値関係で \(W\) を割った集合を \(\tilde{X}=W/\sim\) と定める．\(\{x_n\},\{y_n\}\) を代表元に持つ \(\tilde{X}\) の元を \([x_n],[y_n]\) と表して， \[[x_n]+[y_n] := [x_n+y_n]\] \[a[x_n] := [ax_n]\] によって和とスカラー倍を定める．ここで，この定義が \(\text{wll-defined}\) であることを確認しなければならない．
\(\{x_n+y_n\},\{ax_n\}\) がコーシー列となることは， \[\|(x_n+y_n)- (x_m+y_m)\| \leq \|x_n-x_m\| + \|y_n-y_m\|\] \[\|ax_n- ax_m\| = |a|\|x_n-x_m\|\] となることからわかる．また，\([x_n]=[x’_n],[y_n]=[y’_n]\) とすると， \[\|(x’_n+y’_n)-(x_n-y_n)\|\leq \|x’_n-x_n\| + \|y’_n-y_n\|\] \[\|ax’_n-ax_n\|= |a|\|x’_n-x_n\|\] \([x_n+y_n]=[x’_n+y’_n],[ax_n]=[ax’_n]\) である．したがって \(\text{wll-defined}\) である．
次に実数列 \(\{\|x_n\|\}\) は \[|\|x_n\|-\|x_m\|| \leq \|x_n-x_m\|\] よりコーシー列であり \(\mathbb{R}\) の完備性より \(\|x_n\|\to \beta\ \ (n\to \infty)\) となる \(\beta\) が取れる．この \(\beta\) は \([x_n]=[x’_n]\) であるとき， \[\|x_n\| \leq \|x_n-x’_n\|+\|x’_n\| \ ,\ \ \|x’_n\| \leq \|x’_n-x_n\|+\|x_n\| \] より，\(\|x_n\|\to \beta \ \Leftrightarrow \ \|x’_n\|\to \beta \) であるので，\(\tilde{X}\) の元に対して一意的に定まる．\(\tilde{x}\in \tilde{X}\) に対して定まるこの \(\beta\) を \(\|\tilde{x}\|_{\sim}\) と表す． \(\|\cdot\|_{\sim}\) は \(\tilde{X}\) のノルムであることを確認する．
\(\|\tilde{x}\|_{\sim}\geq 0\) は明らかである．\(\|[x_n]\|_{\sim}=0\) とすると， \(\|x_n- 0\| \to 0\ \ (n\to \infty)\) であるので \(x_n\) が全て \(0\) である点列を代表元にもつ \(\tilde{X}\) の元 \(\tilde{0}\) （これが \(\tilde{X}\) の零元）と同値である． したがって \(\|\tilde{x}\|_{\sim}=0 \ \Leftrightarrow \ \tilde{x} = \tilde{0}\) である．また \[\|a[x_n]\|_{\sim} = \lim_{n\to \infty}{\|ax_n\|} = |a|\lim_{n\to \infty}{\|x_n\|} = |a|\|[x_n]\|_{\sim} \] \begin{eqnarray} \|[x_n] + [y_n]\|_{\sim} &=& \|[x_n + y_n]\|_{\sim} = \lim_{n\to\infty}{\|x_n + y_n\|} \\ &\leq & \lim_{n\to \infty}{\|x_n\|} + \lim_{n\to \infty}{\|y_n\|} = \|[x_n]\|_{\sim} + \|[y_n]\|_{\sim} \end{eqnarray} である．これでノルム空間 \((\tilde{X},\|\cdot\|_{\sim})\) が得られた．
ノルム空間 \((\tilde{X},\|\cdot\|_{\sim})\) は完備であることを示す．
\(\tilde{X}\) のコーシー列 \(\{\tilde{x}_n\}\) をとる．各 \(n\) に対して \(\tilde{x}_n\) の代表元 \(\{x^{(n)}_k\}_{k=1}^{\infty}\) を一つ定める．\(\{x^{(n)}_k\}_{k=1}^{\infty}\) は \(X\) のコーシー列であるから，\(n\) に対してある \(k_n\) があって， \[m>k_n \Rightarrow \|x^{(n)}_m- x^{(n)}_{k_n}\|\leq \frac{1}{n}\] とできる．このとき，\(\{x^{(n)}_{k_n}\}_{n=1}^{\infty}\) は \(X\) のコーシー列となることを確かめる．
\(x\in X\) に対して自明なコーシー列 \(\{x,x,\cdots ,x,\cdots\}\) を考え，このコーシー列を代表元に持つような \(\tilde{X}\) の元を \(\tilde{x}_*\) と表す． \(J:X\to \tilde{X}\) を \(J(x)=\tilde{x}_*\) と定めると，\(J\) は明らかに単射で \(\|J(x)\|_{\sim}=\|x\|\) である． \[\|\tilde{x}_n- J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} = \lim_{n\to\infty}\|x^{(n)}_m- x^{(n)}_{k_n}\| \leq \frac{1}{n}\] であるので， \begin{eqnarray} \|x^{(n)}_{k_n}- x^{(n)}_{k_n}\| &=& \|J(x^{(n)}_{k_n})- J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} \\ &\leq& \|J(x^{(n)}_{k_n})- \tilde{x}_n\|_{\sim} + \|\tilde{x}_n- \tilde{x}_m\|_{\sim} + \|\tilde{x}_m – J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} \\ &\leq & \|\tilde{x}_n- \tilde{x}_m\|_{\sim} + \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \end{eqnarray} がわかる．したがって \(\{x^{(n)}_{k_n}\}_{n=1}^{\infty}\) はコーシー列である．この列が代表する \(\tilde{X}\) の元 \(\tilde{x}\) が \(\{\tilde{x}_n\}\) の収束先であることを言えれば，\(\tilde{X}\) が完備であることが示される． \begin{eqnarray} \|\tilde{x}\ – \tilde{x}_n\|_{\sim} &\leq & \|\tilde{x}- J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} + \|J(x^{(n)}_{k_n})- \tilde{x}_n \|_{\sim} \\ &\leq & \|\tilde{x}- J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} + \frac{1}{n} \end{eqnarray} かつ， \begin{eqnarray} \|\tilde{x} – J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} &=& \lim_{p\to \infty}\|x^{(p)}_{k_p}- x^{(n)}_{k_n}\| \\ &\leq & \lim_{p\to \infty} \left( \|\tilde{x}_p- \tilde{x}_n\|_{\sim} + \frac{1}{p} + \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray} より， \begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \|\tilde{x}- \tilde{x}_n\|_{\sim} &\leq & \lim_{n\to \infty} \|\tilde{x}- J(x^{(n)}_{k_n})\|_{\sim} \\ &\leq & \lim_{n,p\to \infty} \left( \|\tilde{x}_p- \tilde{x}_n\|_{\sim} \right) = 0 \end{eqnarray} したがって，\(\tilde{X}\) はバナッハ空間である．よって，\(\overline{J(X)} = \tilde{X}\) であることを示せば主張は全て示されたことになる．
任意の \(\tilde{x}\in \tilde{X}\) をとり \(\tilde{x}\) の代表元 \(\{x_n\}\) を一つとる．\(\{x_n\}\) はコーシー列なので任意の正数 \(\varepsilon\) に対して，ある \(N\) があって， \[m,n > N \Rightarrow \|x_n-x_m\|<\varepsilon \] が成り立つ．したがって \(n>N\) に対して \[\|\tilde{x}- J(x_n)\|_{\sim} = \lim_{m\to\infty} \|x_m- x_n\| \leq \epsilon \] となるから \(\overline{J(X)} = \tilde{X}\) である．