\(a_k = (x,x_k)\) とおくと，任意の \(n\) に対して \begin{eqnarray} 0 &\leq & \left\| x\ – \sum_{k=1}^n a_k x_k \right\|^2 \\ &=& \|x\|^2\ – \sum_{k=1}^n\overline{a_k}(x,x_k)\ – \sum_{k=1}^n a_k(x_k,x) + \sum_{j,k=1}^n a_j\overline{a_k}(x_j,x_k) \\ &=& \|x\|^2\ – \sum_{k=1}^n |a_k|^2 \end{eqnarray} が成り立つ．したがって， \[ \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|^2 \leq \|x\|^2 \] であり，絶対収束するから， \[ \sum_{k\in\mathbb{N}} |a_k|^2 \leq \|x\|^2 \]

任意の \(x\in X\) に対して \(a_k = (x,x_k)\) とおくと，ピタゴラスの定理より， \[ \left\| \sum_{k=1}^n a_k x_k- \sum_{k=1}^m a_k x_k \right\|^2 = \left\| \sum_{k=n+1}^m a_k x_k \right\|^2 = \sum_{k=n+1}^m |a_k|^2 \] である．(ここで \(n < m\) とした) ．このとき \(\sum_{k=1}^{n} |a_k|^2\) はベッセルの不等式より収束するので，これはコーシー列である．よって，完備性から \(\sum_{k=1}^{n} a_k x_k\) は \(L\) の元に収束する．その極限を \(y\in L\) とする．ここで，\(y\) は \(\{x_k\}\) の和の順番によらない．\(\{x_{\varphi(k)}\}\) を新たに取る．任意の \(\varepsilon>0\) に対して，\(n,m>N\) ならば \[\left\|\sum_{k=1}^n a_{k} x_{k}-y\right\| < \varepsilon\ ,\quad \sum_{k=n+1}^m |a_k|^2 < \varepsilon\] となる \(N\in\mathbb{N}\) が存在する．また，\(n>N\) を一つ固定したとき， \[\{x_k\}_{k=1}^n\subset \{x_{\varphi(k)}\}_{k=1}^P\] を満たす \(P > N\) が取れる．\(p \geq P\) に対して， \[\{x_k\}_{k=1}^n\subset \{x_{\varphi(k)}\}_{k=1}^p \subset \{x_{k}\}_{k=1}^{m_p}\] となる \(m_p > N\) が取れるので，\(p \geq P\) で， \begin{eqnarray} \left\|\sum_{k=1}^p a_{\varphi(k)} x_{\varphi(k)}-y\right\| &\leq& \left\|\sum_{k=1}^p a_{\varphi(k)} x_{\varphi(k)}-\sum_{k=1}^n a_{k} x_{k}\right\| + \left\|\sum_{k=1}^n a_{k} x_{k}-y\right\| \\ &\leq & \sum_{k=n+1}^{m_p} |a_k|^2 + \left\|\sum_{k=1}^n a_{k} x_{k}-y\right\| \\ &<& 2\varepsilon \end{eqnarray} よって，\(y\) は \(\{x_k\}\) の和の順番によらない．内積の連続性より \begin{eqnarray} (x-y,\ x_p) &=& (x,\ x_p)- (y,\ x_p) \\ &=& (x,\ x_p)- \sum_{k=1}^{\infty} a_k\left(x_k ,\ x_p \right) = 0 \end{eqnarray} が成り立つ．したがって \(x-y\in L^{\perp}\) であるので，射影定理より， \[P_L(x) = y = \sum_{k\in\mathbb{N}} a_k x_k\] これで主張の前半は示された．

任意の \(x\in X\) に対して \(a_k = (x,x_k),\ a’_k = (x’,x_k)\) とおくと，シュワルツの不等式とベッセルの不等式より \[ \left( \sum_{k=1}^n |a_k \overline{a’_k}| \right) ^2 \leq \left( \sum_{k=1}^n |a_k|^2 \right)\left( \sum_{k=1}^n |\overline{a’_k}|^2 \right) \leq \|x\|^2 \|x’\|^2 \] である．したがって，\(\sum_{k=1}^n a_k \overline{a’_k}\) は絶対収束する．よって，前半の結果を用いれば，内積の連続性より， \begin{eqnarray} (P_L(x),\ P_L(x’)) &=& \left(\sum_{k=1}^{\infty}a_k x_k,\ \sum_{k=1}^{\infty}a’_k x_k\right) \\ &=& \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=1}^{n}a_k x_k,\ \sum_{k=1}^{n}a’_k x_k\right) \\ &=& \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k \overline{a’_k} \\ \end{eqnarray} これで全ての主張が示された．

\(1\Rightarrow 2\) であること:
命題 3.2 と仮定より，\(x = P_L(x) = \sum_{k\in\mathbb{N}} (x,x_k)x_k\) である．

\(2\Rightarrow 3\) であること:
命題 3.2 と仮定より，\(P_L(x) = \sum_{k\in\mathbb{N}} (x,x_k)x_k = x\) なので命題 3.2 より主張を満たす．

\(3\Rightarrow 4\) であること:
\(x=x’\) とすれば良い．

\(4\Rightarrow 5\) であること:
任意の \(k\) に対して \((x,x_k) = 0\) となるとき，仮定より \(\|x\|=0\) なので \(x=0\) である．

\(5\Rightarrow 1\) であること:
仮定より \(L^{\perp}=\{0\}\) である．よって射影定理より \(X=L\) である．

\(X\) は可分なので稠密な可算部分集合 \(L\subset X\) が取れる．したがって，任意の ONS の元 \(x_{\lambda},x_{\mu}\) と任意の実数 \(\varepsilon>0\) に対して， \[\exists u_{\lambda}\in L\ \ {\rm s.t.}\ \ \|x_{\lambda}-u_{\lambda}\| < \varepsilon\] \[\exists u_{\mu}\in L\ \ {\rm s.t.}\ \ \|x_{\mu}-u_{\mu}\| < \varepsilon\] となる．\(x_{\lambda} \neq x_{\mu}\) であるとき \(\|x_{\lambda}\ -x_{\mu}\| = \sqrt{2}\) なので， \begin{eqnarray} \sqrt{2} &=& \|x_{\lambda}\ -x_{\mu}\| \\ &\leq & \|x_{\lambda}\ -u_{\lambda}\| + \|u_{\lambda}\ -u_{\mu}\| + \|u_{\mu}\ -x_{\mu}\| \\ &<& 2\varepsilon + \|u_{\lambda}\ -u_{\mu}\| \end{eqnarray} したがって，\(\sqrt{2}\ -2\varepsilon < \|u_{\lambda}\ -u_{\mu}\|\) である．このことから \(\varepsilon=1/2\) とでもしておけば \(u_{\lambda}\neq u_{\mu}\) となる．
よって，ONS の元 \(x_{\lambda}\) に対してこのような \(u_{\lambda}\in L\) を対応させる写像は単射であるので，\(\#\Lambda\leq \#L\) であり，主張が示された．

\(X\) は可分なので稠密な可算部分集合 \(L=\{e_n\}_{n=1}^{\infty}\subset X\) が取れる．このとき次のように \(e’_n\) を定める．

\(e’_1 = e_1\) とする．
\(e_k\notin \mathcal{LH}(e’_1)\) となる最小の \(k\) をとって \(e’_2 = e_k\) とする．
\(e_k\notin \mathcal{LH}(e’_1,e’_2)\) となる最小の \(k\) をとって \(e’_3 = e_k\) とする．
以下この操作を繰り返す．

得られた \(\{e’_n\}_{n=1}^{\infty}\) に対してシュミット直交化を施して ONS である \(\{\tilde{e}_n\}_{n=1}^{\infty}\) を得る．作り方から \(L\subset \mathcal{LH}(\{\tilde{e}_n\}_{n=1}^{\infty})\) を満たすから \(\{\tilde{e}_n\}_{n=1}^{\infty}\) は \(X\) の CONS である．