特に断りがない限り \(X,Y\) は \(K\) ベクトル空間である．( \(K\) は \(\mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) である)
有界線形作用素
定義 4.1
\(F\) を体とする．\(F\) ベクトル空間 \(X\) の部分空間 \(D\) から \(F\) ベクトル空間 \(Y\) への写像 \(T:D\to Y\) が線形であるとは，任意の \(x,y\in D,\ a\in F\) に対して，
\[T(x+y) = T(x) + T(y)\]
\[T(ax) = aT(x)\]
が成り立つことである．
＊上の定義で \(T\) の定義域を \(X\) 全体でなく \(D\subset X\) としている理由は例 4.12 で示す．
以下，このような写像のことを線形作用素といい，\(D\) を \(T\) の定義域と呼び \(D(T)\) と表す．また，\({\rm Im}\ T\) を値域と呼び \(R(T)\) と表す．
＊関数解析の分野では線形作用素を単に作用素と呼ぶことも多い．
\(T,S\) を \(X\) から \(Y\) への定義域が \(D\) の線形作用素とするとき，和とスカラー倍を
\[(T+S)(x) = T(x) + S(x) \quad (x\in D)\]
\[(aT)(x) = aT(x) \quad(x\in D,\ a\in F)\]
と定める．容易にわかるように \(T+S,\ aT\) もまた線形作用素である．
恒等作用素 \( (x\mapsto x) \) を \(I\) と表し，零作用素 \( (x\mapsto 0) \) を \(O\) と表す．
定義 4.2
ノルム空間 \(X\) からノルム空間 \(Y\) への作用素 \(T\) が連続であるとは，
\[x_n\to x \ (x_n,\ x\in D(T)) \Longrightarrow T(x_n)\to T(x)\]
となることである．
定義 4.3
ノルム空間 \(X\) からノルム空間 \(Y\) への作用素 \(T\) が有界であるとは，
\[\exists C>0\ \ {\rm s.t.}\ \ \forall x\in D(T)\ ,\ \|T(x)\|_Y \leq C\|x\|_X \]
となることである．
定理 4.4
ノルム空間 \(X\) からノルム空間 \(Y\) への線形作用素 \(T\) が連続であることと有界であることは同値である．
証明
（有界ならば連続）
\(x_n\to x\ (n\to\infty)\) とする．有界性より，ある \(C\) があって
\[\|T(x_n)-T(x)\| = \|T(x_n-x)\| \leq C\|x_n-x\|\]
となる．したがって，\(x\to\infty\) とすると \(T(x_n)\to T(x)\) である．
（連続ならば有界）
対偶を考える．有界でないとする．したがって，任意の自然数 \(n>0\) に対して \(\|T(x_n)\| > n\|x_n\|\) となる \(x_n\in D(T)\) が存在する．ここで，\(y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{x_n}{\|x_n\|}\) とおくと，\(\|y_n\| = \frac{1}{\sqrt{n}}\) であるから \(y_n\to 0\) である．しかし，
\[\|T(y_n)\| = \left\| \frac{1}{\sqrt{n}\|x_n\|}T(x_n) \right\| = \frac{1}{\sqrt{n}\|x_n\|}\|T(x_n)\| > \sqrt{n}\]
となるので \(\|T(y_n)\|\to\infty\) ．したがって \(T\) は連続でない．
ノルム空間 \(\mathscr{B}(X,Y)\)
ノルム空間 \(X\) からノルム空間 \(Y\) への有界線形作用素 \(T\) で \(D(T)=X\) となるもの全体を \(\mathscr{B}(X,Y)\) とかく．\(\mathscr{B}(X,Y)\) は明らかにベクトル空間である．
\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) に対して \(\|T\|\) を次のように定める．
\[ \|T\| := \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} \ \left( = \sup_{\|x\| = 1}\|T(x)\| \right) \]
\[\left(\text{Because}\ , \ \ \sup_{x \neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} = \sup_{x \neq 0}\frac{\left\|T\left(\frac{x}{\|x\|}\right)\right\|}{\left\|\frac{x}{\|x\|}\right\|} = \sup_{\|x\| = 1}\|T(x)\| \ \right)\]
定理 4.6
\(\|T\| = \sup_{x\neq 0} \frac{\|T(x)\|}{\|x\|}\) は \(\mathscr{B}(X,Y)\) のノルムである．また，\(Y\) をバナッハ空間とすると，このノルムにより \(\mathscr{B}(X,Y)\) はバナッハ空間となる．
証明
・ノルム空間であること
\(\|T\|\geq 0\) は明らかである．\(\|T\|=0\) のとき，任意の実数 \(\varepsilon >0\) に対して \(\|T(x)\| \leq \varepsilon \|x\|\) ．すなわち \(T(x)=0\) である．
また，
\[\|(aT)(x)\| = |a|\|T(x)\|\]
\[\|(T+S)(x)\| \leq \|T(x)\| + \|S(x)\|\]
より，
\[\|aT\| = \sup_{x\neq 0}\frac{\|(aT)(x)\|}{\|x\|} = |a|\sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|} = |a|\|T\|\]
\begin{eqnarray}
\|T+S\| &=& \sup_{x\neq 0}\frac{\|(T+S)(x)\|}{\|x\|} \\
&\leq & \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|+\|S(x)\|}{\|x\|} = \|T\|+\|S\|
\end{eqnarray}
・完備であること
\(\mathscr{B}(X,Y)\) のコーシー列 \(\{T_n\}\) をとる．任意の \(x\in X\) に対して
\[\|T_n(x)\ -T_m(x)\| \leq \|T_n-T_m\|\|x\|\]
となるので，\(\{T_n(x)\}\) はコーシー列である．したがって，\(Y\) がバナッハ空間なので各 \(x\) に対して \(T_n(x)\to y\) となる \(y\in Y\) が存在する．
ここで，\(T\) を \(T(x) = y\) により定義する．
\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) であることを確認する．線形作用素であることは容易に確かめられる．\(X=D(T)\) も自明である．有界作用素であることはコーシー列が有界列であることから，ある実数 \(C\geq 0\) があって，
\[\|T(x)\| = \lim_{n\to\infty}\|T_n(x)\| \leq \lim_{n\to\infty} \|T_n\|\|x\|\leq C\|x\|\]
となることからわかる．したがって，\(\|T_n-T\|\to 0\) を確かめれば完備性が言える．
任意の \(\varepsilon >0\) に対してある \(N\) があって \(n,m>N\) ならば，
\[\|T_n(x)-T_m(x)\| \leq \|T_n-T_m\|\|x\| < \varepsilon \|x\|\]
となるので，ノルムの連続性から \(m\to \infty\) とすると，
\[\|T_n(x)-T(x)\| \leq \varepsilon \|x\|\]
すなわち，
\[\sup_{x\neq 0}\frac{\|T_n(x)-T(x)\|}{\|x\|} \leq \varepsilon\]
が得られ，\(\|T-T_m\|\to 0\) である．これで完備性がいえた．
例 4.7 （正射影作用素）
ヒルベルト空間の \(X\) の閉部分空間 \(L\) への正射影作用素 \(P_L\) は有界線形作用素である．特に \(\|P_L\| = 1\) である．
証明
線形作用素であること：
任意に \(x,y\in X\) と \(a\in K\) をとると，射影定理より \(x=x_0+x_1,\ y=y_0+y_1\) となる \(x_0,y_0\in L,\ x_1,y_1\in L^{\perp}\) が一意的に存在するので，
\[P_L(x+y) = P_L(x_0+y_0+x_1+y_1) = x_0+y_0 = P_L(x)+P_L(y)\]
\[P_L(ax) = P_L(ax_0+ay_0) = ax_0 = aP_L(x)\]
有界であること：
任意の \(x\in X\) に対して射影定理より \(x=x_0+x_1\) となる \(x_0\in L,\ x_1\in L^{\perp}\) が一意的に存在するので
\[\|P_L(x)\| = \|x_0\| \leq \|x\|\]
となる．明らかに \(x\in L\) で \(\|P_L(x)\| = \|x\|\) より，\(\|P_L\| = 1\) である．
ノルム空間 \(X\) と \(T,S\in \mathscr{B}(X,X)\) に対して
\[ \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(Sx)\|}{\|Sx\|}\frac{\|Sx\|}{\|x\|} \leq \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(Sx)\|}{\|Sx\|}\sup_{x\neq 0}\frac{\|Sx\|}{\|x\|} \]
であることから，
\[\|TS\|\leq \|T\| \|S\| \]
が成り立つ．したがって，\(\mathscr{B}(X,X)\) は環を成す．
定理 4.8
\(X\) をノルム空間，\(Y\) をバナッハ空間とし，\(T\) を \(X\) から \(Y\) への有界線形作用素とする．このとき \(D(T)\) が \(X\) 上で稠密ならば，次の2つを満たすような \(\tilde{T}\in \mathscr{B}(X,Y)\) がただ一つ存在する．
- \(T=\tilde{T}|_{D(T)}\)（ここで，\(\tilde{T}|_{D(T)}\) は \(\tilde{T}\) の \(D(T)\) 上への制限を表す）
- \(\|T\|=\|\tilde{T}\|\)
証明
任意に \(x\in X\) をとる．このとき \(x_n\to x\ \ (n\to \infty)\) となる \(x_n\in D(T)\) が存在する．
\[\|T(x_n)-T(x_m)\|\leq \|T\|\|f_n-f_m\|\to 0 \quad (n,m\to\infty)\]
かつ \(Y\) がバナッハ空間なので，\(T(x_n)\to y\) となる \(y\in Y\) が存在する．この \(y\) は \(\{x_n\}\) の取り方によらない．なぜなら，\(x\) に収束する点列 \(x’_n\in D(T)\) を新たにとり，\(T(x’_n)\to y’\) とすると，
\begin{eqnarray}
\|y-y’\| &\leq & \|y- T(x_n)\| + \|T(x_n)- T(x’_n)\| + \|T(x’_n)- y’\| \\
&\leq & \|y- T(x_n)\| + \|T\|\|x_n- x’_n \| + \|T(x’_n)- y’\|
\end{eqnarray}
であるので，\(\|y-y’\|=0\) ．すなわち \(y=y’\) となるからである．したがって，\(\tilde{T}\) を各 \(x\in X\) に対して上で定めた \(y\) を対応させる作用素とで定義でき，明らかに \(D(\tilde{T}) = X\) かつ \(T=\tilde{T}|_{D(T)}\) である．線形であることは容易に確かめられるので，有界性について述べる．
\[\|\tilde{T}(x)\| = \lim_{n\to\infty} \|\tilde{T}(x_n)\| = \lim_{n\to \infty}\|T(x_n)\| \leq \lim_{n\to \infty} \|T\|\|x_n\| = \|T\|\|x\|\]
より，有界である．またこのことから \(\|\tilde{T}\| \leq \|T\|\) がわかる．また， \(T=\tilde{T}|_{D(T)}\) より明らかに \(\|\tilde{T}\|\geq \|T\|\) なので \(\|T\| = \|\tilde{T}\|\) である．
最後に一意性を示す．
\(\tilde{T}’\) もまた条件を満たすとする．任意の \(x\in X\) と \(x\) に収束する \(x_n\in D(T)\) に対して
\[\|\tilde{T}'(x)-\tilde{T}(x)\| = \lim_{n\to\infty} \|\tilde{T}'(x_n)-\tilde{T}(x_n)\| = \lim_{n\to\infty} \|T(x_n)-T(x_n)\| = 0 \]
なので \(\tilde{T}’=\tilde{T}\) である．
＊上の定理は証明から明らかなように \(D(T)\) が \(X\) で稠密かに関わらずに「 \(D(\tilde{T}) = \overline{D(T)}\) かつ 2 つの条件を満たす有界線形作用素 \(\tilde{T}\) が唯一つ存在する」と拡張できる．
ノルム空間 \(X\) からバナッハ空間 \(Y\) への有界線形作用素 \(T\) はよく \(X=D(T)\) ，つまり \(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) であると仮定される．
なぜなら，\(X\) が完備であれば \(\overline{D(T)}\) も完備であることから，\(X\) を \(\overline{D(T)}\) に，\(T\) を上の定理によって得られる \(\tilde{T}\) に置き換えて考えれば良いからである．
有界線形作用素の例
例 4.9 （ \(l^p\) 上の作用素）
作用素 \(T_n:l^p\to l^p\ \ (n\in\mathbb{Z})\) を \(x=(x_0,x_1,x_2,\cdots)\in l^p\) に対して
\[T_nx = \left\{
\begin{array}{ccc}
(x_n,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) & \quad & (n\geq 0) \\
(\underbrace{0,\cdots,0}_{|n|},x_0,x_1,x_2,\cdots) & \quad & (n\leq 0)
\end{array}
\right.
\]
と定める．\(T_n\) は明らかに線形である．また，明らかに \(\|T_n\| = 1\) であるから有界線形作用素である．
例 4.10 （ \(L^p(\Omega)\) 上の作用素）
関数 \(k:\Omega\to\mathbb{C}\) が実数 \(\alpha >0\) があって，
\[|k(x)|\leq \alpha\quad (\mu -\text{a.e.})\]
を満たす関数とする．このとき，\(f\in L^p(\Omega)\) に対して，
\[(Tf)(x) = k(x)f(x)\]
と定めると，\(T:L^p(\Omega)\to L^p(\Omega)\) は線形作用素である．また，
\[ \|Tf\|_{L^p} \leq \alpha\|f\|_{L^p} \]
であるので，\(\|T\|\leq \alpha\) ．したがって \(T\) は有界線形作用素である．
例 4.11 （ \(L^2(\Omega)\) 上の作用素）
\(k:\Omega\times\Omega\to\mathbb{C}\) が
\[\int_{\Omega}\int_{\Omega}|k(x,y)|^2\ dxdy<\infty\]
を満たす関数とする．このとき，\(f\in L^2(\Omega)\) に対して，
\[(Tf)(x) = \int_{\Omega}k(x,y)f(y)\ dy\]
と定める．ヘルダーの不等式より，
\[|(Tf)(x)|^2 \leq \left(\int_{\Omega}|k(x,y)|^2\ dy\right)\left(\int_{\Omega}|f(y)|^2\ dy\right)\]
が成り立ち，この式より，
\[ \int_{\Omega}|(Tf)(x)|^2\ dx \leq \left(\int_{\Omega}|f(y)|^2\ dy\right)\left(\int_{\Omega}\int_{\Omega}|k(x,y)|^2\ dy\ dx\right) < \infty\]
がわかる．したがって，\(Tf\in L^2(\Omega)\) であり \(T:L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)\) は線形作用素である．また，この不等式より，
\[ \|T\| \leq \left(\int_{\Omega}\int_{\Omega}|k(x,y)|^2\ dy\ dx\right)^{1/2}\]
であるので，\(T\) は有界線形作用素である．この \(T\) はヒルベルト・シュミット ( Hilbert-Schmidt ) 積分作用素と呼ばれる．
次は非有界線形作用素の例である．
例 4.12 （ \(C[a,b]\) 上の作用素）
閉区間 \([a,b]\subset \mathbb{R}\ (a < b)\) 上の連続関数全体の集合 \(C[a,b]\) は関数解析 1 例 1.10 で見たようにバナッハ空間の構造が定まる．このとき，\(T\) を \(f\in D(T)\) に対し，
\[(Tf)(x) = f'(x)\]
と定めると，\(T\) は \(D(T)=C^1[a,b]\) となる \(C[a,b]\) から \(C[a,b]\) への線形作用素である．このとき，明らかに \(D(T)\neq C[a,b]\) である．
また，\(f(x)=1-e^{-n(x-a)}\in D(T)\ (n\in \mathbb{N})\) を取ると，
\[\|f\| = \sup_{x\in [a,b]}|f(x)| \leq 1 \]
\[\|Tf\| = \sup_{x\in [a,b]}|f'(x)| = n \]
であるから，
\[ \forall n \leq \sup_{0\neq f\in D(T)}\frac{\|Tf\|}{\|f\|} \]
となる．したがって，\(T\) は「非」有界線形作用素である．
今回は以上です．お疲れ様でした．