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群 \(G\) とその部分群 \(H\) に対して \(G\) の部分集合を次のように定義する． $$xH:=\{xh\in G\ |\ h\in H\}$$このような部分集合 \(xH\) を \(H\) による左剰余類とよぶ．

$$(G:H)\ \# H=\# G$$

2 つの群 \(G,G'\) に対して写像 \(f:G\longrightarrow G'\) があって，任意の \(x,y\in G\) に対して $$f(xy)=f(x)f(y)$$をみたすとき， \(f\) を \(G\) から \(G'\) への準同型という．

群 \(G\) の空でない部分集合 \(S\) があるとき， \(S\) の元，およびその逆元の有限個の積 $${x_1}^{\varepsilon_1}{x_2}^{\varepsilon_2}\dots {x_n}^{\varepsilon_n}\quad (x_i \in S,\ \varepsilon_i=\pm 1,\ 1\leq n \lt \infty)$$で表せる \(G\) の元全体の集合を \(\langle S \rangle\) とかく．
\(\langle S \rangle\) は \(G\) の部分群となっていて， \(\langle S \rangle\) を \(S\) が生成する部分群といい， \(S\) を \(\langle S \rangle\) の生成系， \(S\) の元を \(\langle S \rangle\) の生成元という．

関数 \(f(x)\) が点 \(a\) を含む区間 \(I\) で無限回微分可能であるとき， $$\lim_{n\rightarrow \infty}R_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=0$$となる \(x\) の範囲で， $$f(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{n!}(x-a)^k$$と級数展開できる．この展開を関数 \(f(x)\) の点 \(a\) 周りでのテイラー展開と呼ぶ．また，特に，点 \(0\) 周りでのテイラー展開をマクローリン展開と呼ぶ．

群 \(G\) の部分集合 \(H\) が \(G\) の部分群であるとは， \(H\) が \(G\) の単位元 \(e\) を含み \(G\) の演算で群となっていることである．

集合 \(G\) が次の３つの性質を満たすとき \(G\) を群という． (1) 結合法則, (2) 単位元の存在, (3) 逆元の存在

自然数は有理数と同じ数だけ存在し，無理数は有理数よりも多く存在する．

次の 2 つは同値である． $$O_y\in \mathcal{O}_Y \Longrightarrow f^{-1}(O_y)\in \mathcal{O}_X$$

集合 \(S\ (\neq \emptyset)\) の部分集合系 \(\mathfrak{O}\) が次の 3 つの条件を満たすとき， \(\mathfrak{O}\) を \(S\) の位相という．
(i) \(S\in \mathfrak{O}\) かつ \(\emptyset\in \mathfrak{O}\)
(ii) \(O_1,O_2\in \mathfrak{O}\) ならば \(O_1\cap O_2\in \mathfrak{O}\)
(iii) \(O_{\lambda}\in \mathfrak{O}\ (\lambda\in\Lambda)\) ならば \(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in \mathfrak{O}\)

Sylow p 部分群に対して，次 4 つが成り立つ．
(1) 有限群 \(G\) は，任意の素数 \(p\) に対して， Sylow p 部分群を持つ．
(2) 有限群 \(G\) の p 部分群はある Sylow p 部分群に含まれる．
(3) Sylow p 部分群は互いに共役である．
(4) Sylow p 部分群の個数を \(n_p\) とすると，
$$n_p\equiv 1 \quad mad\ p\ .$$