「代数学」カテゴリーアーカイブ
準同型定理【群論入門シリーズ8】
準同型定理
\(f:G\longrightarrow G'\) を準同型とするとき次が成り立つ.
(1) \(f\) の核 \({\rm Ker} f\) による \(G\) の剰余群 \(G/{\rm Ker}f\) は写像 $$G/{\rm Ker} f \ni x\ {\rm Ker} f\longmapsto f(x)\in {\rm Im}f=f(G)$$によって, \(G'\) の部分群 \({\rm Im}f\) と同型である.
(2) \(H \triangleleft G\) でかつ \(H\subset{\rm Ker}f\) のとき, \(p\)を \(G\) から \(G/H\) への自然な射影とすると,任意の \(x\in G\) に対して, \(f(x)=\varphi (p(x))\) となるような準同型 \(\varphi\) が唯一つ存在する.
2020年09月22日(1) \(f\) の核 \({\rm Ker} f\) による \(G\) の剰余群 \(G/{\rm Ker}f\) は写像 $$G/{\rm Ker} f \ni x\ {\rm Ker} f\longmapsto f(x)\in {\rm Im}f=f(G)$$によって, \(G'\) の部分群 \({\rm Im}f\) と同型である.
(2) \(H \triangleleft G\) でかつ \(H\subset{\rm Ker}f\) のとき, \(p\)を \(G\) から \(G/H\) への自然な射影とすると,任意の \(x\in G\) に対して, \(f(x)=\varphi (p(x))\) となるような準同型 \(\varphi\) が唯一つ存在する.
剰余群【群論入門シリーズ7】
剰余群の定義
群 \(G\) とその正規部分群 \(H\) による剰余類集合 \(G/H\) がなす群を \(G\) の \(H\) による剰余群という.
2020年09月19日正規部分群【群論入門シリーズ6】
正規部分群の定義
群 \(G\) の剰余類が任意の \(g\in G\) で,
$$gH=Hg$$となるような \(G\) の部分群 \(H\) を正規部分群といい, \(H \triangleleft G\) とかく.
2020年09月19日剰余類【群論入門シリーズ5】
剰余類の定義
群 \(G\) とその部分群 \(H\) に対して \(G\) の部分集合を次のように定義する.
$$xH:=\{xh\in G\ |\ h\in H\}$$このような部分集合 \(xH\) を \(H\) による左剰余類とよぶ.
ラグランジュの定理
$$(G:H)\ \# H=\# G$$
2020年09月16日準同型【群論入門シリーズ4】
準同型の定義
2 つの群 \(G,G'\) に対して写像 \(f:G\longrightarrow G'\) があって,任意の \(x,y\in G\) に対して
$$f(xy)=f(x)f(y)$$をみたすとき, \(f\) を \(G\) から \(G'\) への準同型という.
2020年09月14日生成系と位数【群論入門シリーズ3】
生成する部分群の定義
群 \(G\) の空でない部分集合 \(S\) があるとき, \(S\) の元,およびその逆元の有限個の積
$${x_1}^{\varepsilon_1}{x_2}^{\varepsilon_2}\dots {x_n}^{\varepsilon_n}\quad (x_i \in S,\ \varepsilon_i=\pm 1,\ 1\leq n \lt \infty)$$で表せる \(G\) の元全体の集合を \(\langle S \rangle\) とかく.
\(\langle S \rangle\) は \(G\) の部分群となっていて, \(\langle S \rangle\) を \(S\) が生成する部分群といい, \(S\) を \(\langle S \rangle\) の生成系, \(S\) の元を \(\langle S \rangle\) の生成元という.
2020年09月14日\(\langle S \rangle\) は \(G\) の部分群となっていて, \(\langle S \rangle\) を \(S\) が生成する部分群といい, \(S\) を \(\langle S \rangle\) の生成系, \(S\) の元を \(\langle S \rangle\) の生成元という.
部分群【群論入門シリーズ2】
部分群の定義
群 \(G\) の部分集合 \(H\) が \(G\) の部分群であるとは, \(H\) が \(G\) の単位元 \(e\) を含み \(G\) の演算で群となっていることである.
2020年09月12日群の定義【群論入門シリーズ1】
群の定義
集合 \(G\) が次の3つの性質を満たすとき \(G\) を群という.
(1) 結合法則, (2) 単位元の存在, (3) 逆元の存在
2020年09月11日Sylowの定理の証明〜証明編〜
Sylowの定理
Sylow p 部分群に対して,次 4 つが成り立つ.
(1) 有限群 \(G\) は,任意の素数 \(p\) に対して, Sylow p 部分群を持つ.
(2) 有限群 \(G\) の p 部分群はある Sylow p 部分群に含まれる.
(3) Sylow p 部分群は互いに共役である.
(4) Sylow p 部分群の個数を \(n_p\) とすると,
$$n_p\equiv 1 \quad mad\ p\ .$$
2020年09月03日(1) 有限群 \(G\) は,任意の素数 \(p\) に対して, Sylow p 部分群を持つ.
(2) 有限群 \(G\) の p 部分群はある Sylow p 部分群に含まれる.
(3) Sylow p 部分群は互いに共役である.
(4) Sylow p 部分群の個数を \(n_p\) とすると,
$$n_p\equiv 1 \quad mad\ p\ .$$
Sylowの定理の証明〜準備編〜
Sylowの定理
Sylow p 部分群に対して,次 4 つが成り立つ.
(1) 有限群 \(G\) は,任意の素数 \(p\) に対して, Sylow p 部分群を持つ.
(2) 有限群 \(G\) の p 部分群はある Sylow p 部分群に含まれる.
(3) Sylow p 部分群は互いに共役である.
(4) Sylow p 部分群の個数を \(n_p\) とすると,
$$n_p\equiv 1 \quad mad\ p\ .$$
2020年09月03日(1) 有限群 \(G\) は,任意の素数 \(p\) に対して, Sylow p 部分群を持つ.
(2) 有限群 \(G\) の p 部分群はある Sylow p 部分群に含まれる.
(3) Sylow p 部分群は互いに共役である.
(4) Sylow p 部分群の個数を \(n_p\) とすると,
$$n_p\equiv 1 \quad mad\ p\ .$$