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\(f,\ f_n:S\to\mathbb{C}\) を可測関数とする．\(A\) 上各点で \(\lim f_n = f\) かつ \(\sup_{n\geq 1}|f_n|\) が \(A\) 上可積分のとき次が成り立つ． \[\lim_n \int_A |f_n-f|\ d\mu = 0\]\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]

\(f:S\to[0,\infty]\) を可測関数とする．このとき \(f\) の \(A\in\mathscr{A}\) 上での積分を以下で定める． \[\int_A f d\mu \overset{\rm{def}}{=} \sup\left\{ \int_A g\ d\mu\ \middle|\ A\rm{上}\ 0\leq g \leq f\ ,\ g：\rm{可測単関数} \right\} \]

\(X,Y\) がバナッハ空間であるとき，\(X\) から \(Y\) への線形作用素 \(T\) が閉作用素であるための必要十分条件は定義域 \(D(T)\) に定めたノルム\[\|x\|_{D(T)} := \|x\|_X + \|Tx\|_Y \]によって，\(D(T)\) がバナッハ空間となることである．

\(T\in \mathscr{B}(X,Y)\) に対して\[ \|T\| := \sup_{x\neq 0}\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}\]と定めると，これは \(\mathscr{B}(X,Y)\) のノルムである．また，\(Y\) をバナッハ空間とすると，このノルムにより \(\mathscr{B}(X,Y)\) はバナッハ空間となる．

内積空間 \(X\) の部分集合 \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) が\[(x_{\lambda}, x_{\mu}) = \delta_{\lambda\mu}\]を満たすとき，\(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}\) を ONS という．また，この \(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}\) が CONS であるとは\[X= \overline{\mathcal{LH}(\{x_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda})} \]となることである．

内積空間 \(X\) が内積から定まるノルムに関して完備であるとき，\(X\) をヒルベルト ( Hilbert ) 空間という．

完備なノルム空間をバナッハ ( Banach ) 空間という．

可測関数 \(f:S\to [0,\infty]\) はある単関数列 \(\{f_n:S\to [0,\infty)\}_{n\geq 1}\) の極限として表現できる．

集合 \(S\) の部分集合族 \(\mathscr{A}\) が以下の 3 条件を満たすとき， \(\mathscr{A}\) を \(\sigma\) 加法族という．
$$ \emptyset \in \mathscr{A} \tag{1}$$ $$ A\in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c\in \mathscr{A} \tag{2}$$ $$ \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A} \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A} \tag{3}$$

ジョルダン曲線 \(C\) があって， \(f(z)\) が \(C\) 上で正則かつ， \(C^{\circ}\) で有限個の孤立特異点 \(\{a_1,\cdots,a_n\}\) を除いて正則ならば， $$\int_{C} f(s)\ ds = 2\pi i\{Res(f,a_1)+\cdots+Res(f,a_n)\}$$が成り立つ．