「解析学」カテゴリーアーカイブ

1. テイラー展開
2. ローラン展開
3. 特異点と零点
4. 一致の定理と解析接続

1. 複素積分の導入
　1.1. 複素平面上の曲線
　1.2. 実数変数複素数値関数の定積分
　1.3. 複素積分の定義
　1.4. 複素積分の基本的性質
　1.5. 複素積分の例題
2. コーシーの積分定理
　2.1. 単連結と多重連結
　2.2. コーシーの積分定理
　2.3. コーシーの積分表示
3. 冪級数展開定理

1. 複素関数の定義
2. 正則関数の定義
　2.1. 連続の定義
　2.2. 微分の定義
　2.3. 正則関数の定義
3. コーシー・リーマンの方程式
4. 初等関数
　4.1. 冪級数とその収束性
　4.2. 指数関数
　4.3. 三角関数
　4.4. 対数関数
　4.5. 一般の指数関数

二乗して \(-1\) となる数を形式的に \(i\) と表し，この \(i\) を虚数単位とよぶ．このとき， 2 つの実数 \(x,y\) に対して，複素数 \(z\) を $$z=x+iy$$と定義する．

1. 級数とは
2. 冪級数とは
3. 収束半径の導入
4. 冪級数の収束半径の判定法
　4.1. ダランベールの収束判定法
　4.2. コーシーの収束判定法
5. 冪級数の収束域判定の例
6. 冪級数の収束半径の性質
　6.1. 収束半径の絶対値級数での不変性
　6.2. 冪級数の項別微分・項別積分可能性
　6.3. 収束半径の項別微分・項別積分での不変性
　6.4. アーベルの定理
7. 収束半径の性質を用いた級数の極限値の証明

関数 \(f(x)\) が点 \(a\) を含む区間 \(I\) で無限回微分可能であるとき， $$\lim_{n\rightarrow \infty}R_{n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=0$$となる \(x\) の範囲で， $$f(x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{n!}(x-a)^k$$と級数展開できる．この展開を関数 \(f(x)\) の点 \(a\) 周りでのテイラー展開と呼ぶ．また，特に，点 \(0\) 周りでのテイラー展開をマクローリン展開と呼ぶ．

1. limによる連続関数の定義
2. \(\varepsilon-\delta\) 論法による連続関数の定義
3. \(\varepsilon-\delta\) 論法による一様連続の定義
4. \(\varepsilon-\delta\) 論法による（距離空間での）連続写像の定義
5. 位相空間での連続写像の定義