「解説・紹介」カテゴリーアーカイブ

集合 \(S\) の部分集合族 \(\mathscr{A}\) が以下の 3 条件を満たすとき， \(\mathscr{A}\) を \(\sigma\) 加法族という．
$$ \emptyset \in \mathscr{A} \tag{1}$$ $$ A\in \mathscr{A} \Longrightarrow A^c\in \mathscr{A} \tag{2}$$ $$ \{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathscr{A} \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A} \tag{3}$$

ジョルダン曲線 \(C\) があって， \(f(z)\) が \(C\) 上で正則かつ， \(C^{\circ}\) で有限個の孤立特異点 \(\{a_1,\cdots,a_n\}\) を除いて正則ならば， $$\int_{C} f(s)\ ds = 2\pi i\{Res(f,a_1)+\cdots+Res(f,a_n)\}$$が成り立つ．

1. テイラー展開
2. ローラン展開
3. 特異点と零点
4. 一致の定理と解析接続

1. 複素積分の導入
　1.1. 複素平面上の曲線
　1.2. 実数変数複素数値関数の定積分
　1.3. 複素積分の定義
　1.4. 複素積分の基本的性質
　1.5. 複素積分の例題
2. コーシーの積分定理
　2.1. 単連結と多重連結
　2.2. コーシーの積分定理
　2.3. コーシーの積分表示
3. 冪級数展開定理

1. 複素関数の定義
2. 正則関数の定義
　2.1. 連続の定義
　2.2. 微分の定義
　2.3. 正則関数の定義
3. コーシー・リーマンの方程式
4. 初等関数
　4.1. 冪級数とその収束性
　4.2. 指数関数
　4.3. 三角関数
　4.4. 対数関数
　4.5. 一般の指数関数

二乗して \(-1\) となる数を形式的に \(i\) と表し，この \(i\) を虚数単位とよぶ．このとき， 2 つの実数 \(x,y\) に対して，複素数 \(z\) を $$z=x+iy$$と定義する．

1. 級数とは
2. 冪級数とは
3. 収束半径の導入
4. 冪級数の収束半径の判定法
　4.1. ダランベールの収束判定法
　4.2. コーシーの収束判定法
5. 冪級数の収束域判定の例
6. 冪級数の収束半径の性質
　6.1. 収束半径の絶対値級数での不変性
　6.2. 冪級数の項別微分・項別積分可能性
　6.3. 収束半径の項別微分・項別積分での不変性
　6.4. アーベルの定理
7. 収束半径の性質を用いた級数の極限値の証明

\(f:G\longrightarrow G'\) を準同型とするとき次が成り立つ．

(1) \(f\) の核 \({\rm Ker} f\) による \(G\) の剰余群 \(G/{\rm Ker}f\) は写像 $$G/{\rm Ker} f \ni x\ {\rm Ker} f\longmapsto f(x)\in {\rm Im}f=f(G)$$によって， \(G'\) の部分群 \({\rm Im}f\) と同型である．

(2) \(H \triangleleft G\) でかつ \(H\subset{\rm Ker}f\) のとき， \(p\)を \(G\) から \(G/H\) への自然な射影とすると，任意の \(x\in G\) に対して， \(f(x)=\varphi (p(x))\) となるような準同型 \(\varphi\) が唯一つ存在する．

群 \(G\) とその正規部分群 \(H\) による剰余類集合 \(G/H\) がなす群を \(G\) の \(H\) による剰余群という．

群 \(G\) の剰余類が任意の \(g\in G\) で， $$gH=Hg$$となるような \(G\) の部分群 \(H\) を正規部分群といい， \(H \triangleleft G\) とかく．