ここでは \((S,\mathscr{A},\mu)\) は測度空間とし， \(\overline{\mathbb{R}},\mathbb{C}\) は Borel 集合族で可測空間となっているとします．
以下で紹介する命題は全て「可測関数」を「 \(\mu-\text{a.e}\) で定義された可測関数」に，「各点で」を「 \(\mu-\text{a.e}\) で」に置き換えても成り立ちます．
収束定理
単調収束定理
\(f_n:S\to\overline{\mathbb{R}}\) を可測関数とする．\(A\) 上各点で \(f_n\nearrow f\) かつ \(f_1^{-}\) が \(A\) 上可積分なら
\[\int_Af\ d\mu = \lim_n\int_Af_n\ d\mu\]
が成り立つ．
証明
仮定より，\(f^{-}\leq f_n^{-}\leq f_1^{-}\) だから，
\[\int_Af^{-}\ d\mu\ ,\ \int_Af_n^{-}\ d\mu\ ,\ \int_Af_1^{-}\ d\mu < \infty\]
また，\(0\leq f_1^{-}+f_n\ (\mu-\text{a.e})\) であるから，
\begin{eqnarray}
\int_Af_1^{-}\ d\mu + \int_Af\ d\mu
&\overset{\rm{命題 3.2.4 }}{=}& \int_A(f_1^{-}+f)\ d\mu = \int_A\lim_n(f_1^{-}+f_n)\ d\mu \\
&\overset{\rm{命題 3.2.3 }}{=}& \lim_{n} \int_A(f_1^{-}+f_n)\ d\mu \\
&\overset{\rm{命題 3.2.4 }}{=}& \lim_{n} \left(\int_Af_1^{-}\ d\mu+\int_Af_n\ d\mu\right) \\
&=& \int_Af_1^{-}\ d\mu + \lim_n\int_Af_n\ d\mu
\end{eqnarray}
ここで \(f_1^{-}+f,\ f_1^{-}+f_n\) は \(\mu-\text{a.e}\) で定義されることと，命題 3.2.3 , 3.2.4 は「 \(\mu-\text{a.e}\) に定義された可測関数」に対して拡張したものを用いたことに注意！
【ルベーグ積分3】3.可測修正を参照
ファトウの補題
\(f_n:S\to\overline{\mathbb{R}}\) を可測関数とする．このとき以下が成り立つ．
\(\left(\inf_{n\geq 1} f_n \right)^{-}\) が \(A\) 上可積分ならば
\[\int_A \varliminf_n f_n\ d\mu \leq \varliminf_n\int_A f_n\ d\mu\]
\(\left(\sup_{n\geq 1} f_n \right)^{+}\) が \(A\) 上可積分ならば
\[\int_A \varlimsup_n f_n\ d\mu \geq \varlimsup_n\int_A f_n\ d\mu\]
証明
\(\left(\inf_{n\geq 1} f_n \right)^{-}\) が \(A\) 上可積分とする．\(h_n = \inf_{k\geq n} f_k\) とおけば
\[\varliminf_n f_n = \lim_{n}\inf_{k\geq n} f_k\]
だから \(h_n\nearrow \varliminf f_n\) であり，仮定より \(h_1^{-}\) が \(A\) 上可積分，また \(h_n\leq f_n\) だから，単調収束定理より，
\begin{eqnarray}
\int_A \varliminf_n f_n\ d\mu &=& \int_A \lim_n h_n\ d\mu = \lim_n\int_A h_n\ d\mu \\
&=& \varliminf_n\int_A h_n\ d\mu \leq \varliminf_n\int_A f_n\ d\mu \\
\end{eqnarray}
\(\left(\sup_{n\geq 1} f_n \right)^{+}\) が \(A\) 上可積分とする．
\[\left(\sup_{n\geq 1} f_n \right)^{+} = \left(-\sup_{n\geq 1} f_n \right)^{-} = \left(\inf_{n\geq 1} \ (-f_n) \right)^{-}\]
より，\(\left(\inf_{n\geq 1} (-f_n) \right)^{-}\) が \(A\) 上可積分だから，
\begin{eqnarray}
\int_A \varlimsup_n f_n\ d\mu &=& -\int_A \varliminf_n (-f_n)\ d\mu \\
&\geq & -\varliminf_n\int_A (-f_n)\ d\mu \\
&=& \varlimsup_n\int_A f_n\ d\mu
\end{eqnarray}
単調収束定理とファトウの補題は
\(f^{\pm}\) が \(A\) 上可積分
\(\Longleftrightarrow\) ある \(A\) 上可積分関数 \(g\) が存在して \(f^{\pm}\leq g\ (\mu-\text{a.e.})\)
\(\Longleftrightarrow\) ある \(A\) 上可積分関数 \(g\) が存在して \(\pm f\leq g\ (\mu-\text{a.e.})\)
なので，「\(f^{\pm}\) が \(A\) 上可積分」という仮定の代わりに「\(A\) 上可積分関数 \(g:S\to[0,\infty]\) があって，\(\pm f\leq g\ (\mu-\text{a.e.})\) となる」と仮定することもできます．
実際に具体的な関数列 \(f_n\in\mathbb{M}(S\to\overline{\mathbb{R}})\) が与えられたときには，このような \(g\) を取ってくることで各命題を適用することが多いです．
優収束定理
\(f,\ f_n:S\to\mathbb{C}\) を可測関数とする．\(A\) 上各点で \(\lim f_n = f\) かつ \(\sup_{n\geq 1}|f_n|\) が \(A\) 上可積分のとき次が成り立つ．
\[\lim_n \int_A |f_n-f|\ d\mu = 0\]
\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]
証明
\(h_n=|f_n-f|\) とおけば
\[0\leq h_n\leq |f_n|+|f| \leq 2\sup_{n\geq 1}|f_n|\]
したがって \(h_n\) は \(A\) 上可積分なので，ファトウの補題より
\[0\leq \varlimsup_n\int_A h_n\ d\mu \leq \int_A \varlimsup_n h_n\ d\mu\]
また，\(\varlimsup h_n = \lim |f_n-f| = 0\) だから，
\[\varlimsup_n\int_A h_n\ d\mu = 0\]
である．ここで，\(\int_Ah_n\ d\mu\geq 0\) だから，極限が存在して
\[\lim_n\int_A h_n\ d\mu = 0\]
である．これで第一式が示された．また，このことを用いて，
\begin{eqnarray}
\int_A |f_n-f|\ d\mu &\overset{\rm{命題 3.2.5 }}{\geq}& \left|\int_A (f_n-f)\ d\mu \right| \\
&\overset{\rm{命題 3.2.4 }}{=}& \left|\int_A f_n\ d\mu-\int_A f\ d\mu \right| \\
\end{eqnarray}
したがって，
\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]
である．
優収束定理も同様に「\(f\) が \(A\) 上可積分」という仮定の代わりに「\(A\) 上可積分関数 \(g:S\to[0,\infty]\) があって，\(f\leq g\ (\mu-\text{a.e.})\) となる」という仮定を用いてもよく，実用上はこの仮定をよく用います．
系 4.1 （有界収束定理）
\(\mu(A)<\infty\) で \(f,\ f_n:S\to\mathbb{C}\) を可測関数とする．\(A\) 上各点で \(\lim f_n = f\) かつ \(\sup_{n\geq 1}|f_n|\) が \(A\) 上有界のとき次が成り立つ．
\[\lim_n \int_A |f_n-f|\ d\mu = 0\]
\[\int_A f\ d\mu = \lim_n\int_A f_n\ d\mu \]
＊優収束定理より明らかです．
系 4.2
\(f_n:S\to\overline{\mathbb{R}}\ \rm{or}\ \mathbb{C}\) を可測関数とする．このとき，
\[\int_A\sum_{n\geq 1} |f_n|\ d\mu = \sum_{n\geq 1}\int_A |f_n|\ d\mu\]
が成り立つ．また，上式の値が有限であるとき，
\[\int_A\sum_{n\geq 1} f_n\ d\mu = \sum_{n\geq 1}\int_A f_n\ d\mu\]
証明
単調収束定理より明らかに
\[\int_A\sum_{n\geq 1} |f_n|\ d\mu = \sum_{n\geq 1}\int_A |f_n|\ d\mu\]
は成り立つ．この値が有限であるとすれば，\(\sum_{n\geq 1} |f_n|<\infty\ (\mu-\text{a.e.})\) であり，したがって \(\sum_{n\geq 1} f_n\) は \(\mu-\text{a.e.}\) で有限値に収束する．\(g_n=\sum_{n\geq k\geq 1} f_k\) とおけば，
\[\sup_{n\geq 1}|g_n|\leq \sup_{n\geq 1}\sum_{n\geq k\geq 1} |f_k| = \sum_{n\geq 1} |f_k| < \infty\]
であるから \(\sup_{n\geq 1}|g_n|\) は可積分である．したがって，優収束定理より
\[\int_A \sum_{n\geq 1} f_n\ d\mu = \int_A \lim_n g_n\ d\mu = \lim_n\int_A g_n\ d\mu = \sum_{n\geq 1}\int_A f_n\ d\mu \]
少し短いですが，今回は以上です．お疲れ様でした．