今回は連分数について解説します．
1. 正の連分数
\(a_n > 0\ (n\neq 0)\) である実数列 \(\{a_n\}_n\) に対して，
\[[a_0;a_1a_2\cdots a_n]:=a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{a_n}}}}\]
と定める．
補題 1.1
\(a_n >0\ (n\neq 0)\) である実数列 \(\{a_n\}_n\) に対して，
\[p_{-1}=1 \ ,\quad p_0=a_0\ ,\quad p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2} \]
\[q_{-1}=0 \ ,\quad q_0=1\ ,\quad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2} \]
と定める．このとき，\(n\geq 1\) で次が成り立つ．
\[[a_0;a_1a_2\cdots a_n] = \frac{p_n}{q_n}\]
証明
帰納法を用いる．\([a_0;a_1]\) に対して成り立つことは容易に確かめられる．( \(a_0\neq 0\) ならば \(n=0\) でも成り立つ）\(k\geq 1\) に対して
\[[a_0;a_1a_2\cdots a_k] = \frac{p_k}{q_k}\]
が成り立つとする．このとき \(b_k = a_k+\displaystyle\frac{1}{a_{k+1}}\) とおくと，
\[[a_0;a_1a_2\cdots a_{k-1}b_k] = [a_0;a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}]\]
である．また，仮定より
\[[a_0;a_1a_2\cdots a_{k-1}b_k] = \frac{p’_k}{q’_k}\]
と表せて，
\[p’_k = b_kp_{k-1}+p_{k-2} \ ,\quad q’_k = b_kq_{k-1}+q_{k-2} \]
である．したがって，
\begin{eqnarray}
\frac{p’_k}{q’_k}
&=& \frac{a_{k+1}a_{k}p_{k-1}+p_{k-1}+a_{k+1}p_{k-2}}{a_{k+1}a_{k}q_{k-1}+q_{k-1}+a_{k+1}q_{k-2}} \\
&=& \frac{a_{k+1}p_{k}+p_{k-1}}{a_{k+1}q_{k}+q_{k-1}} = \frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}
\end{eqnarray}
すなわち，\([a_0;a_1a_2\cdots a_{k+1}] = \displaystyle\frac{p_{k+1}}{q_{k+1}}\) である．
補題 1.2
補題 1.1 と同様の設定とする．このとき，以下が成り立つ．
\[p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=(-1)^{n+1}\]
証明
\(p_n,\ q_n\) の定め方から，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
p_{n} & p_{n-1} \\
q_{n} & p_{n-1}
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
p_{n-1} & p_{n-2} \\
q_{n-1} & p_{n-2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
p_{0} & p_{-1} \\
q_{0} & p_{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
a_0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
が成り立つ．したがって，両辺の行列式を考えれば，
\[p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=(-1)^{n+1}\]
が成り立つ．
命題 1.3
\(a_n\geq 1\ (n\neq 0)\) である整数列 \(\{a_n\}_n\) に対して，\([a_0;a_1a_2\cdots a_n]\) は \(n\to\infty\) で収束する．
証明
まず，収束性をみる．補題 1.1 のように \(p_n,\ q_n\) をとると，\([a_0;a_1a_2\cdots a_n]=\displaystyle\frac{p_n}{q_n}\) と書けて，補題 1.2 より
\[\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\frac{p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}}{q_nq_{n-1}} = \frac{(-1)^{n+1}}{q_nq_{n-1}}\]
となる．\(a_n\geq 1\ (n\neq 0)\) より \(\{q_n\}\) が狭義単調増加するから，
\[\lim_{n\to\infty}q_n=\infty\ \Longrightarrow\ \left|\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right|\to 0\]
である．したがって，交代級数
\[\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_0}{q_0}\]
は収束するから \(\displaystyle\frac{p_n}{q_n}\) は収束する．
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}[a_0;a_1a_2\cdots a_n]\) を \([a_0;a_1a_2\cdots]\) または
\[a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}\]
と表し，この分数表示と有限の分数表示
\[a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{a_n}}}}\]
を併せて正の(正則)連分数と呼ぶ．ただし，\(\{a_n\}_n\) は \(a_n\geq 1\ (n\neq 0)\) なる整数列である．
2. 正の連分数展開
\(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) に対して次のように定める．
\[x_0=x\ ,\quad a_0=[x]\]
\[x_{n+1}=\frac{1}{x_n-a_n} > 1 \ ,\quad a_{n+1}=[x_{n+1}] \geq 1\]
ただし \([x]\) は \(x\) を超えない最大の整数とする．このとき，
\[x=a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{x_n}}}}\]
を得る．すなわち整数列 \(\{a_n\}_n\) を得る．
命題 2.1
\(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) に対して上の操作で得られる整数列を \(\{a_n\}_n\) とする．このとき，
\[x=[a_0;a_1a_2\cdots]\]
である．
証明
補題 1.1 を用いれば，
\[x=[a_0;a_1a_2\cdots a_nx_{n+1}] = \displaystyle\frac{p’_{n+1}}{q’_{n+1}} = \displaystyle\frac{x_{n+1}p_{n}+p_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}+q_{n-1}}\]
と表せる．また，
\[[a_0;a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n] = \displaystyle\frac{p_n}{q_n}\]
であるから，補題 1.2 より
\begin{eqnarray}
\frac{p_n}{q_n}-x &=& \frac{p_n}{q_n}-\frac{x_{n+1}p_{n}+p_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}+q_{n-1}} \\
&=& \frac{p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}}{q_n(x_{n+1}q_{n}+q_{n-1})} \\
&=& \frac{(-1)^{n+1}}{q_n(x_{n+1}q_{n}+q_{n-1})}
\end{eqnarray}
である．したがって，
\[\left|\frac{p_n}{q_n}-x\right|\leq \frac{1}{q_{n}^2}\to 0\]
また，\(x\in\mathbb{Q}\) に対して同様に \(x_n,\ a_n\) を定めると，容易にわかるように有限の \(n\) で \(x_n=a_n\) となり，
\[x=a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{a_n}}}}\]
を得る．すなわち任意の \(x\in\mathbb{R}\) は
\[x=a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}\]
または
\[x=a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{a_2 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{a_n}}}}\]
なる連分数表示を持つ．この表示を \(x\) の正の(正則)連分数展開と呼ぶ．
3. 正の連分数展開の一意性
命題 3.1
\(\omega=[a_0;a_1a_2\cdots]\) は無理数である．また，無理数の正の連分数展開は一意的である．
証明
補題 1.1 より \([a_0;a_1a_2\cdots a_n]=\displaystyle\frac{p_n}{q_n}\) と書ける．ここで，
\[\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}} = \frac{(-1)^{n+1}}{q_nq_{n-1}}+\frac{(-1)^n}{q_{n-1}q_{n-2}}\]
であるから \(\displaystyle\frac{p_{2k}}{q_{2k}}\) は狭義単調増加し，\(\displaystyle\frac{p_{2k+1}}{q_{2k+1}}\) は狭義単調減少する．ここで，容易にわかるように任意の \(n\geq 2\) で
\[a_0< [a_0;a_1a_2\cdots a_n] < a_0+1\]
であるから
\[a_0< \omega < a_0+1\]
となる．すなわち \(a_0=[\omega]\) である．\(\omega_1=\displaystyle\frac{1}{\omega-a_0}\) と定めると，
\[\omega_1 = [a_1;a_2a_3\cdots ]\]
となる．全く同様に \(a_1< \omega_1 < a_1+1\) であり \(a_1=[\omega_1]\) となる．以下同様に繰り返すと，\(\omega\) の正の連分数展開は \(\{a_n\}_n\) であることがわかる．よって，連分数展開は一意的である．また，この作り方では有理数の連分数展開は有限でないとならないから \(\omega\) は無理数である．
命題 3.1 より \(x\) の正の連分数展開が有限かは \(x\) が有理数か無理数かによって定まる．
無理数の正の連分数展開は一意的に定まるが，有理数の正の連分数展開は一般に一意的でない．なぜならば，
\[a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{a_n}}} = a_0 +\frac{1}{a_1 +\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} +\displaystyle\frac{1}{(a_n-1)+\displaystyle\frac{1}{1}}}}\]
と表せるからである．ここで，\(x\in\mathbb{Q}\) の正の連分数展開を \([a_0;a_1a_2\cdots a_n]\) とするとき，\(a_n\geq 2\) としておく．このとき正の連分数展開は一意的となることを確かめる．
命題 3.2
\(x\in\mathbb{Q}\) の正の連分数展開に対して，最終の項が \(1\) でない展開は一意的である．
証明
\(x=[a_0;a_1a_2\cdots a_n]\) とする．\(a_n\geq 2\) とすると，命題 2.2 の証明と全く同様の考察により \(0\leq k\leq n-1\) で \(a_k\) は一意に定まる．したがって \(a_n\) の連分数展開は \(a_0=[a_0]\) と \(a_0=[a_0-1;1]\) のみであるので，結局全ての \(a_k\) は一意的に定まる．
4. 負の連分数
負の連分数は定義はやや不自然に感じるが，正の連分数に比べて良い性質を持っている．
\(a_n \geq 2\ (n\neq 0)\) である実数列 \(\{a_n\}_n\) に対して，
\[[[a_0;a_1a_2\cdots a_n]]:=a_0 -\frac{1}{a_1 -\displaystyle\frac{1}{a_2 -\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1}-\displaystyle\frac{1}{a_n}}}}\]
と定める．
定義から容易にわかるように \( [[a_0;a_1a_2\cdots a_n]] \) は単調減少する．また，\(x \geq 2,\ y > 1\) ならば \(x-\displaystyle\frac{1}{y} > 1\) であるから \(n\geq 1\) で \(a_0-1 < [[a_0;a_1a_2\cdots a_n]] < a_0\) となる．したがって，\( [[a_0;a_1a_2\cdots a_n]] \) は \(n\to\infty\) で収束する．
正の連分数と同様に \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}[[a_0;a_1a_2\cdots a_n]]\) を \([[a_0;a_1a_2\cdots]]\) または
\[a_0 -\frac{1}{a_1 -\displaystyle\frac{1}{a_2 -\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}\]
と表す．この分数表示と有限の分数表示
\[a_0 -\frac{1}{a_1 -\displaystyle\frac{1}{a_2 -\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} -\displaystyle\frac{1}{a_n}}}}\]
を併せて負の(正則)連分数と呼ぶ．ただし，\(\{a_n\}_n\) は \(a_n\geq 2\ (n\neq 0)\) なる整数列である．
補題 4.1
\(a_n\geq 2\ (n\neq 0)\) である実数列 \(\{a_n\}_n\) に対して，
\[p_{-1}=1 \ ,\quad p_0=a_0\ ,\quad p_n=a_np_{n-1}-p_{n-2} \]
\[q_{-1}=0 \ ,\quad q_0=1\ ,\quad q_n=a_nq_{n-1}-q_{n-2} \]
と定める．このとき，\(n\geq 1\) で次が成り立つ．
\[[[a_0;a_1a_2\cdots a_n]] = \frac{p_n}{q_n}\]
補題 4.2
補題 4.1 と同様の設定とする．このとき，以下が成り立つ．
\[p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=-1\]
証明
\(p_n,\ q_n\) の定め方から，
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
p_{n} & p_{n-1} \\
q_{n} & p_{n-1}
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
p_{n-1} & p_{n-2} \\
q_{n-1} & p_{n-2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
p_{0} & p_{-1} \\
q_{0} & p_{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
a_0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
が成り立つ．したがって，両辺の行列式を考えれば，
\[p_nq_{n-1}-q_np_{n-1}=-1\]
が成り立つ．
5. 負の連分数展開
\(x\in \mathbb{R}\) に対して次のように定める．
\[x_0=x\ ,\quad a_0=[x]+1\]
\[x_{n+1}=\frac{1}{a_n-x_n} \geq 1 \ ,\quad a_{n+1}=[x_{n+1}]+1 \geq 2\]
ただし \([x]\) は \(x\) を超えない最大の整数とする．このとき，
\[x=a_0 -\frac{1}{a_1 -\displaystyle\frac{1}{a_2 -\displaystyle\frac{1}{\ddots a_{n-1} -\displaystyle\frac{1}{x_n}}}}\]
を得る．この操作は任意の \(n\) で \(a_{n}\neq x_{n}\) となるから無限に可能である．すなわち整数列 \(\{a_n\}_n\) を得る．
命題 5.1
\(x\in \mathbb{R}\) に対して上の操作で得られる整数列を \(\{a_n\}_n\) とする．このとき，
\[x=[[a_0;a_1a_2\cdots]]\]
である．
証明
補題 4.1 を用いれば，
\[x=[[a_0;a_1a_2\cdots a_nx_{n+1}]] = \displaystyle\frac{p’_{n+1}}{q’_{n+1}} = \displaystyle\frac{x_{n+1}p_{n}-p_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}-q_{n-1}}\]
と表せる．また，
\[[[a_0;a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n]] = \displaystyle\frac{p_n}{q_n}\]
であるから，補題 4.2 より
\begin{eqnarray}
\frac{p_n}{q_n}-x &=& \frac{p_n}{q_n}-\frac{x_{n+1}p_{n}-p_{n-1}}{x_{n+1}q_{n}-q_{n-1}} \\
&=& \frac{-p_nq_{n-1}+q_np_{n-1}}{q_n(x_{n+1}q_{n}-q_{n-1})} \\
&=& \frac{1}{q_n(x_{n+1}q_{n}-q_{n-1})}
\end{eqnarray}
である．したがって，
\[\left|\frac{p_n}{q_n}-x\right|\leq \frac{1}{q_{n}^2}\to 0\]
命題 5.1 より，任意の \(x\in\mathbb{R}\) は
\[x=a_0 -\frac{1}{a_1 -\displaystyle\frac{1}{a_2 -\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}\]
なる連分数表示を持つ．この表示を \(x\) の負の(正則)連分数展開と呼ぶ．
注意：負の連分数展開では常に無限に続く連分数による表示を考える．
6. 負の連分数展開の一意性と性質
命題 6.1
負の連分数展開は一意的である．
証明
\(\omega=[[a_0;a_1a_2\cdots]]\) とする．任意の \(n\geq 1\) で
\[a_0-1 < [[a_0;a_1a_2\cdots a_n]] < a_0\]
かつ \([[a_0;a_1a_2\cdots a_n]]\searrow \omega\) であるから，
\[a_0-1 \leq \omega < a_0\]
となる．すなわち \(a_0=[\omega]+1\) である．\(\omega_1=\displaystyle\frac{1}{a_0-\omega}\) と定めると，
\[\omega_1 = [a_1;a_2a_3\cdots ]\]
となる．全く同様に \(a_1-1 \leq \omega_1 < a_1+1\) であり \(a_1=[\omega_1]+1\) となる．以下同様に繰り返すと，\(\omega\) の正の連分数展開は \(\{a_n\}_n\) であることがわかる．よって，連分数展開は一意的である．
命題 6.2
\(x\) の負の連分数展開を \([[a_0;a_1a_2\cdots]]\) とする．このとき，\(n\geq N\) ならば \(a_n=2\) となる \(N\) が存在することと \(x\in\mathbb{Q}\) であることは同値でである．
証明
\(x=[[2;2,2,\cdots]]\) とおくと，\(x=[[2;x]]=2-\displaystyle\frac{1}{x}\) である．これを解けば \(x=1\) である．したがって，\(n\geq N\) で \(a_n=2\) とすると，
\[[[a_0;a_1a_2\cdots a_{N-1}a_{N}a_{N+1}\cdots]] = [[a_0;a_1a_2\cdots a_{N-2}(a_{N-1}-1)]]\]
となる．右辺は明らかに有理数である．
逆を示す．まず，上で示したように \(1=[[2;2,2,\cdots]]\) であるから，\(x\in\mathbb{Z}\) のとき，明らかに \(x\) の連分数展開は
\[x=(x+1)-\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}\]
となる．\(x_0\in\mathbb{Q}\) とする．\(x_0\notin\mathbb{Z}\) ならば，\(x_0=\displaystyle\frac{g_0p_0+r_0}{p_0}\) と表示できる．ただし \(0 < r_0 < p_0\) である．このとき，\(a_0:=[x_0]+1=g_0+1\) であり，
\[x_1 := \frac{1}{a_0-x_0} = \frac{p_0}{p_0-r_0}\]
となる．ここで，\(x_1\in\mathbb{Z}\) ならば，
\[x=a_0-\frac{1}{x_1}=a_0-\frac{1}{(x_1+1)-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{\ddots}}}}\]
となり，証明が終わる．\(x_1\notin\mathbb{Z}\) ならば，このとき\(p_1=p_0-r_0\) とおけば \(0 < p_1 < p\) であり，\(x_1=\displaystyle\frac{g_1p_1+r_1}{p_1},\ (0 < r_0 < p_0)\) と表示できる．\(x_0\) に施した操作を繰り返し行うことで，\(0 < p_n < \cdots < p_1 < p_0\) となるから，有限回の操作で \(x_n\in\mathbb{Z}\) となる．これで，主張が示された．
7. 正の連分数と負の連分数の変換
補題 7.1
次の等式が成り立つ．
\[
\begin{pmatrix}
a & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a+1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
}_{b-1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\]
証明
次のようになることを用いて，右辺と左辺が一致することを確かめれば分かる．
\[
\underbrace{
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
}_{b-1}
=
\begin{pmatrix}
b & b-1 \\
-(b-1) & -(b-2)
\end{pmatrix}
\]
命題 7.2
\[ [a_0;a_1,a_2,\cdots] = [[(a_0+1);\underbrace{2,2,\cdots ,2}_{a_1-1},(a_2+2),\underbrace{2,2,\cdots ,2}_{a_3-1},(a_4+2),2,2,\cdots]] \]
証明
補題 1.1 より \([a_0;a_1,a_2,\cdots a_n] = \displaystyle\frac{p_n}{q_n}\) であり，\(p_n,\ q_n\) の定め方から
\[
\begin{pmatrix}
p_{n} & p_{n-1} \\
q_{n} & p_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
a_n & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\]
が成り立つ．したがって，補題 7.1 より \(n\) が偶数のとき，
\begin{eqnarray}
&&
\begin{pmatrix}
p_{n} & p_{n-1} \\
q_{n} & p_{n-1}
\end{pmatrix}
\\
&&\quad =
\begin{pmatrix}
a_0+1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
}_{a_1-1}
\\
&&\quad\quad
\begin{pmatrix}
a_2+2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
}_{a_3-1}
\\
&&\quad\quad\cdots
\begin{pmatrix}
a_{n-2}+2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\cdots
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
}_{a_{n-1}-1}
\begin{pmatrix}
a_{n}+2 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
となる．したがって，補題 4.1 の定め方から，
\[\frac{p_n}{q_n} = [[(a_0+1);\underbrace{2,\cdots ,2}_{a_1-1},(a_2+2),2,\cdots ,2,(a_{n-2}+2),\underbrace{2,\cdots ,2}_{a_{n-1}+2},(a_{n}+2)]] \]
となる．よって，両辺の極限を取ることで主張が示される．
8. 連分数と整数係数二次方程式の関係（おまけ）
連分数と整数係数二次方程式との関係を紹介する．ここでは証明はしない．
正の連分数 \([a_0;a_1a_2\cdots]\) に対して，ある整数 \(r\geq 1,\ N\geq 0\) が存在して，
\[n\geq N \Longrightarrow a_{n+r}=a_n\]
となるとき，\([a_0;a_1a_2\cdots]\) を正の循環連分数と呼ぶ．また，このとき，
\[ [a_0;a_1a_2\cdots a_N\overline{a_{N+1}\cdots a_{N+r}} ] \]
と表す．また，\( [\overline{a_0;a_1a_2\cdots a_r} ] \) であるとき，正の純循環連分数と呼ぶ．
同様に負の循環連分数，負の純循環連分数を定める．
命題 8.1
\(x\in\mathbb{R}\) に対して，次の 3 つは同値である．
(i) \(x\) はある \(\mathbb{Z}\) 係数二次方程式の根である．
(ii) \(x\) の正の連分数展開は，正の循環連分数，または，有限で止まる．
(iii) \(x\) の負の連分数展開は，負の循環連分数である．
\(f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2\in\mathbb{Z}[x,y]\) に対して，\(b^2-4ac >0\) であり，
\[a > 0\ ,\quad b > 0\ ,\quad b > a+c\]
が成り立つとき，\(f(x,y)\) は正の判別式を持つ簡約された二次形式という．
命題 8.2
\(\omega\in\mathbb{R}\) に対して，次の 2 つは同値である．
(i) ある正の判別式を持つ簡約された二次形式 \(ax^2+bxy+cy^2\) があって，\(\omega\) は二次方程式 \(ax^2-bx+c=0\) の大きい方の解である．
(ii) \(\omega\) の負の連分数展開は，負の純循環連分数である．
\(\omega=[\overline{a_0;a_1a_2\cdots a_r} ]\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) に対して，命題 8.1 より
\[\omega = \frac{b+c\sqrt{D}}{a}\quad (a,b,c,D\in\mathbb{Z})\]
と表せる．このとき，\(\omega’=\displaystyle\frac{b-c\sqrt{D}}{a}\) と定めて \(\omega\) の共役と呼ぶ．
命題 8.3
\[ \omega=[\overline{a_0;a_1a_2\cdots a_r}]\ \Rightarrow\ -\frac{1}{\omega’}=[\overline{a_r;a_{r-1}a_{r-2}\cdots a_0}]\]
\(\omega=[[\overline{a_0;a_1a_2\cdots a_r} ]]\) は \(1\) か無理数であり，\(\omega\) に対しても同様に共役 \(\omega’\) が定まる．
命題 8.4
\[ \omega=[[\overline{a_0;a_1a_2\cdots a_r}]]\ \Rightarrow\ \frac{1}{\omega’}=[[\overline{a_r;a_{r-1}a_{r-2}\cdots a_0}]]\]
9. 連分数展開の例
\(\psi\) を白金数，\(\phi\) を黄金数，\(e\) をネイピア数，\(\pi\) を円周率とする．
\[\psi := 1+\sqrt{2} = [\overline{2}] = [[3;\overline{2,4}]]\]
\[\psi^{-1} = [0;\overline{2}] = [[1;\overline{2,4}]]\]
\[\phi^{-1}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=[0;\overline{1}] = [[1;\overline{3}]]\]
\[\sqrt{3}=[1;\overline{1,2}] = [[2;\overline{4}]]\]
\begin{eqnarray}
e &=& [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\cdots] \\
&=& [[3;4,3,2,2,2,3,8,3,2,2,2,\cdots]]
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\pi &=& [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,3,\cdots] \\
&=& [[4;2,2,2,2,2,2,17,294,3,4,5,16,2,2,\cdots]]
\end{eqnarray}
\(e,\pi\) は循環連分数にならないと予想できる．実際，この 2 つの数は代数的数でないことが知られているからこれは正しい．
\(e\) の連分数展開には明らかに規則性があるが，\(\pi\) の連分数展開にはそれが見出せない．しかし，正則でない連分数（分母が \(1\) とは限らない連分数）での展開を考えれば，規則性を見つけることができる．
この章は Continued fraction-Wikipedia (2022/3/6) https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction を参照した．
参考文献
・高木貞治，初等整数論講義
・D.ザギヤー，数論入門
・遠山啓，初等整数論