Sylowの定理の証明〜準備編〜

注）この記事は群論の基礎知識を前提とします．

今回はSylowの定理（シローの定理）の証明を行うための諸概念を確認します．（「Sylowの定理の証明〜証明編〜」）

群の作用

群の作用の定義

群 $G$ と集合 $X$ に関して，写像 $$\phi:G \times X \longrightarrow X$$ が次の 2 つの条件 $$\phi(gh,x)=\phi(g,\phi(h,x))$$ $$\phi(e,x)=x$$ を満たすとき， $G$ は $X$ に左から作用するという．ここで， $e$ は $G$ の単位元である．
また， 1 つ目の条件式の代わりに $$\phi(gh,x)=\phi(h,\phi(g,x))$$ を満たすとき， $G$ は $X$ に右から作用するという．
$G$ が $X$ に作用するとき， $G$ を $X$ の変換群， $X$ を $G$ 集合， $\phi$ を作用という．

以降，左作用があったとき簡略して， $\phi(g,x)$ を単に $gx$ と書き，右作用があったとき， $\phi(g,x)$ を単に $xg$ と書くことにします．

軌道

軌道の定義

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき， $x\in X$ に対して $X$ の部分集合 $$O_G:=\{gx\ |\ g\in G\}$$ を $x$ の $G$ 軌道といい，特に混乱がない場合 $x$ の軌道という．

ここで，軌道について以下の命題が成り立ちます．

命題

軌道 $O_G(x),O_G(y)$ が与えられたとき， $O_G(x)\cap O_G(y)=\emptyset$ または $O_G(x)=O_G(y)$ のいずれか一方のみ成り立つ．

証明

$O_G(x)\cap O_G(y)\neq \emptyset$ であるとき， $z\in O_G(x)\cap O_G(y)$ に対して，ある $g,h\in G$ があって， $gx=z=hy$ となるので， $$x=ex=(g^{-1}g)x=g^{-1}(gx)=g^{-1}(hy)=(g^{-1}h)y\in O_G(y)$$ が成り立つ．
任意の $g’x\in O_G(x)$ が $g’x=(g’g^{-1}h)y\in O_G(y)$ とかけることから， $O_G(x)\subset O_G(y)$ であって，同様に， $O_G(x)\supset O_G(y)$ も成り立つので， $O_G(x)= O_G(y)$ が示せた．

上の定理により，作用は $X$ の元に同値関係 $\sim_G$ を与えていることがわかります．また， $\sim_G$ による同値類別

$$X=\coprod_{i}O_G(x_i)$$

を軌道分解といい，商集合 $X/\sim_G$ を単に $G\verb|\| X$ と書きます．

$X$ が唯一の $G$ 軌道からなるとき，つまり，

$$X=O_G(x) \quad (x\in X)$$

となるとき， $G$ は $X$ に推移的に作用するという．

固定化部分群の定義

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき， $X$ の部分集合 $Y\subset X$ に対して $g\in G$ を 1 つ固定して得られる $X$ の部分集合 $$gY:=\{gy\in X\ |\ y\in Y\}$$ を $Y$ の $g$ 移動という．一方， $G$ の部分集合 $$Z_G(Y)=\{g\in G\ |\ gY=Y\}$$ は $(gh)Y=g(hY)=gY=Y$ ， $gY=Y\Longrightarrow Y=g^{-1}Y$ より，群となり，この $G$ の部分群を $Y$ の固定化部分群と呼ぶ． $Y=\{x\}$ のとき，単に $Z_G(x)$ と書く．

このとき，次の命題が成り立つ．

命題

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき， $x\in X$ に対して，写像 $$G/Z_G(x)\ni gZ_G(x)\longmapsto gx\in O_G(x)$$ は全単射となる．

証明

まず，剰余類集合からの写像なのでwell-definedであることを確かめる．
$gZ_G(x)=hZ_G(x)$ とすると， $h^{-1}g\in Z_G(x)$ なので， $h^{-1}gx=x $ であり，したかがって， $gx=hx$ ．よって，well-fefinedであることが確かめられた．
全射であることは定義より，明らかなので，単射であることを示す．
$gx=hx$ であるとすると， $h^{-1}gx=x$ なので， $h^{-1}g\in Z_G(x)$ ．したがって， $gZ_G(x)=hZ_G(x)$ であるので，単射であることが示せた．

ここで，次の定理を認めます．

ラグランジュの定理

群 $G$ とその部分群 $H$ があるとき， $$\#G=\#(G/H)\ \#H$$ が成り立つ．ここで， $\#$ は元の数を表す．

全単射になることと，ラグランジュの定理から次の定理が得られます．

定理

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき， $$\#G=\#O_G(x)\ \#Z_G(x)$$ が成り立つ．また，これより， $G$ が有限群ならば， $\#O_G(x),\ \#Z_G(x)$ は $\#G$ の約数である．

この定理はSylowの定理の証明によく用いますので，覚えておいてください．

内部自己同型

群 $G$ があって次の写像を考えます．

$$G\times G\ni (g,x)\longmapsto i_g(x):=gxg^{-1}\in G$$

この写像は

$$i_{gh}(x)=(gh)x(gh)^{-1}=g(hxh^{-1})g=i_g(i_h(x)) \\
{i_e(x)=exe^{-1}=x}$$

より，群 $G$ から $G$ への作用となっいて，

$$i_g\circ i_{g^{-1}}=i_{g^{-1}}\circ i_g=i_e=Id_G \\
i_g(xy)=g(xy)g^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=i_g(x)i_g(y)$$

より， $i_g:G \longrightarrow G$ は自己同型となっています．

内部自己同型の定義

$i_g:G\ni x \longmapsto gxg^{-1}\in G$ という写像を $G$ の内部自己同型といい， $$G\times G\ni (g,x)\longmapsto i_g(x):=gxg^{-1}\in G$$ を内部自己同型作用という．また，合成写像を演算とする $G$ の自己同型全体のなす群（自己同型群）を $Aut\ G$ とかくとき，準同型 $$i:G\ni g \longmapsto i(g)=i_g \in Aut\ G$$ の像 ${\rm Im}\ i={\rm Int}\ G$ を内部自己同型群という．

共役類

共役類・中心化群の定義

群 $G$ の内部自己同型作用による $G$ 軌道 $$O_G(x):=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}$$ を $G$ の共役類といい， $x$ の固定化部分群 $$Z_G(x):=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}$$ を $x$ の中心化群という．また，$y\in O_G(x)$ のとき， $x$ と $y$ は共役であるという．

正規化群の定義

群 $G$ の部分群 $H$ に対して，次の $G$ の部分集合 $$N_G(H)=\{g\in G\ |\ gHg^{-1}=H\}$$ は $G$ の部分群となり，これを $H$ の正規化群という．

正規化群の定義から， $H\subset N_G(H)$ であって， $H$ は $N_G(H)$ の正規部分群（ $H\triangleleft N_G(H)$と書く）となります．

共役な部分群の定理

群 $G$ の 2 つの部分群 $H,H’$ に対して， $gHg^{-1}=H’$ となる $g\in G$ が存在するとき， $H$ と $H’$ は共役な部分群であるという．

以上でSylowの定理の証明を行う準備は終了です．

証明編も是非ご覧ください．

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