位相空間での連続写像の定義の妥当性

$X,Y$ が距離空間であって，次が成り立つとき，写像 $f:X\longrightarrow Y$ を連続写像という．

2 つの位相空間 $(S,\mathcal{O}),\ (S’,\mathcal{O}’)$ があるとき，写像 $f:S\longrightarrow S’$ が連続であるとは， $$O’\in \mathcal{O}’ \Longrightarrow f^{-1}(O’)\in \mathcal{O}$$ となることである．

距離空間 $X,Y$ とその間の写像 $f:X\longrightarrow Y$ があるとき， であることと， $X,Y$ の開集合系を $\mathcal{O}_X,\ \mathcal{O}_Y$ としたとき， $$O_y\in \mathcal{O}_Y \Longrightarrow f^{-1}(O_y)\in \mathcal{O}_X \tag{#}$$ であることは同値である．

距離空間 $X$ の部分集合 $A$ が開集合であるとは， $$\forall a\in A,\ \exists \varepsilon>0,\ B^X(a;\varepsilon)\subset A$$ であることである．

距離空間 $X,Y$ とその間の写像 $f:X\longrightarrow Y$ があるとする．

$(*)$ を仮定して $(\#)$ を示す．
$Y$ の任意の開集合 $O_y\ (\neq\emptyset)$ をとり， $f^{-1}(O_y)$ は空でないとする．（空なら明らかに $(\#)$ を満たす） $f^{-1}(O_y)$ の任意の元を $x$ とおく．
$f(x)\in O_y$ であるので， $O_y$ が開集合より，ある $\varepsilon >0$ があって， $$B^Y(f(x),\varepsilon)\subset O_y\ .$$ $(*)$ より，ある $\delta >0$ があって， $f(B^Y(x,\delta))\subset B^Y(f(x),\varepsilon)$なので， $$f(B^Y(x,\delta))\subset O_y\ .$$ よって， $$B^Y(x,\delta)\subset f^{-1}(f(B^Y(x,\delta)))\subset f^{-1}(O_y)\ .$$ これより， $f^{-1}(O_y)$ が開集合であることがわかる.
$O_y=\emptyset\in \mathcal{O}_Y$ のときは， $f^{-1}(O_y)=\emptyset\in \mathcal{O}_X$ なので， $(\#)$ が示せた．


$(\#)$ を仮定して $(*)$ を示す．
$f(X)$ の任意の元 $f(x)$ と任意の $\varepsilon >0$ に対して， $B^Y(f(x);\varepsilon)$ を考える． $B^Y(f(x);\varepsilon)\in \mathcal{O}_Y$ なので， $(\#)$ より， $$f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\in \mathcal{O}_X$$ よって， $f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))$ は開集合で， $x$ を含むので，ある $\delta >0$ があって， $$B^X(x;\delta) \subset f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))\ .$$ したがって， $$f(B^X(x;\delta)) \subset f(f^{-1}(B^Y(f(x);\varepsilon))) \subset B^Y(f(x);\varepsilon)) \ .$$ これで， $(*)$ が示せた．